Câu hỏi:

Điều kiện: $x > 0$ và $x^2 - 3x - 5 > 0$


Phương trình tương đương:


$x^2 - 3x - 5 = x$


$x^2 - 4x - 5 = 0$


$(x - 5)(x + 1) = 0$


$x = 5$ (thỏa mãn) hoặc $x = -1$ (loại).


Vậy phương trình có 1 nghiệm.

Gọi diện tích ban đầu lá bèo là $S_0$. Sau $t$ giờ, diện tích lá bèo là $S_0 * 10^t$.
Theo đề bài, sau 10 giờ thì lá bèo phủ kín hồ, tức là $S_0 * 10^{10} = S_{hồ}$, với $S_{hồ}$ là diện tích hồ.
Ta cần tìm $t$ sao cho $S_0 * 10^t > (1/4) * S_{hồ} = (1/4) * S_0 * 10^{10}$.
Suy ra $10^t > (1/4) * 10^{10}$.
Lấy logarit cơ số 10 hai vế, ta có:
$t > log_{10}((1/4) * 10^{10}) = log_{10}(1/4) + log_{10}(10^{10}) = log_{10}(0.25) + 10 ≈ -0.602 + 10 = 9.398$.
Vì $t$ là số giờ, nên $t$ phải là số nguyên. Do đó, $t$ phải lớn hơn hoặc bằng 10. Tuy nhiên, đề bài yêu cầu phủ kín *hơn* một phần tư hồ, nên ta phải tìm $t$ nhỏ nhất sao cho $S_0 * 10^t > (1/4) * S_{hồ}$.
Vì vậy, đáp án là 9 giờ.

Gọi $x$ là cạnh đáy của hình chóp tứ giác đều, $h$ là chiều cao của mặt bên. Diện tích toàn phần là $S_{tp} = x^2 + 4 \cdot \frac{1}{2}xh = x^2 + 2xh = 8$.
Suy ra $h = \frac{8 - x^2}{2x}$. Vì $h > 0$ nên $8 - x^2 > 0$, hay $0 < x < 2\sqrt{2}$.
Gọi $H$ là chiều cao của hình chóp. Ta có $H = \sqrt{h^2 - (\frac{x}{2})^2} = \sqrt{(\frac{8 - x^2}{2x})^2 - (\frac{x}{2})^2} = \sqrt{\frac{(8 - x^2)^2}{4x^2} - \frac{x^2}{4}} = \sqrt{\frac{64 - 16x^2 + x^4 - x^4}{4x^2}} = \sqrt{\frac{64 - 16x^2}{4x^2}} = \frac{\sqrt{16 - 4x^2}}{x} = 2\frac{\sqrt{4 - x^2}}{x}$.
Thể tích của hình chóp là $V = \frac{1}{3}x^2H = \frac{1}{3}x^2 \cdot 2\frac{\sqrt{4 - x^2}}{x} = \frac{2}{3}x\sqrt{4 - x^2}$.
Xét hàm số $f(x) = x\sqrt{4 - x^2}$ trên $(0, 2\sqrt{2})$.
$f'(x) = \sqrt{4 - x^2} + x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{4 - x^2}} = \sqrt{4 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{4 - x^2}} = \frac{4 - x^2 - x^2}{\sqrt{4 - x^2}} = \frac{4 - 2x^2}{\sqrt{4 - x^2}}$.
$f'(x) = 0$ khi $4 - 2x^2 = 0$ hay $x^2 = 2$, suy ra $x = \sqrt{2}$ (vì $x > 0$).
Khi $x = \sqrt{2}$ thì $V$ đạt giá trị lớn nhất. Vậy cạnh đáy của hình chóp là $\sqrt{2} \approx 1.41$. Tuy nhiên, xem lại đề bài thì diện tích toàn phần là $8 dm^2$. Khi đó $h = \frac{8-x^2}{2x}$ và $H = \sqrt{h^2 - (x/2)^2}$
Từ đó, $V = (1/3) x^2 H = (1/3) x^2 \sqrt{h^2 - (x/2)^2}$
Bài toán trở thành tìm $x$ để $V$ max.
Ta có $V = \frac{1}{3}x^2H = \frac{1}{3}x^2 \cdot \frac{\sqrt{16 - 4x^2}}{x} = \frac{1}{3} x \sqrt{16 - 4x^2} = \frac{2}{3}x\sqrt{4 - x^2}$.
Xét $V^2 = \frac{4}{9} x^2 (4 - x^2)$. Đặt $t = x^2$, $0 < t < 4$. $V^2 = \frac{4}{9} t (4 - t)$.
Xét $g(t) = t(4 - t) = 4t - t^2$. $g'(t) = 4 - 2t = 0 \Rightarrow t = 2$.
Vậy $x^2 = 2 \Rightarrow x = \sqrt{2} \approx 1.41$.
Tính lại diện tích toàn phần: $S = x^2 + 2xh = x^2 + 2x\frac{8-x^2}{2x} = x^2 + 8 - x^2 = 8$ (đúng)
Xét lại bài toán: cho diện tích toàn phần, tìm cạnh đáy để thể tích lớn nhất.
Nếu giải theo phương pháp Lagrange thì hơi khó khăn.
Nếu giải như trên, thì ta được $x = \sqrt{2} = 1.41$. Vậy không có đáp án nào đúng.

Gọi phương trình của parabol là $y = ax^2 + c$. Vì đỉnh của parabol cách $\Delta$ là 3 dm nên ta có thể đặt đỉnh parabol tại (0,3), suy ra $c=3$.
Đường thẳng a cắt parabol tại hai điểm có khoảng cách 6 dm, và a vuông góc với trục đối xứng nên hai giao điểm này có tọa độ là (-3, y_0) và (3, y_0).
Khi đó $y_0 = a(3)^2 + 3$. Khoảng cách từ đỉnh đến đường thẳng a là h, ta có $h = y_0 - 3 = 9a$.
Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng a quanh trục $\Delta$ là: $V = \pi \int_{-3}^{3} (ax^2 + 3)^2 dx = \pi \int_{-3}^{3} (a^2x^4 + 6ax^2 + 9)dx = 2\pi \int_{0}^{3} (a^2x^4 + 6ax^2 + 9)dx = 2\pi [\frac{a^2x^5}{5} + 2ax^3 + 9x]_0^3 = 2\pi (\frac{243a^2}{5} + 54a + 27)$.
Vì khoảng cách từ đỉnh parabol đến $\Delta$ là 3 và khoảng cách từ đường thẳng a đến $\Delta$ là $y_0$, nên ta có $h = y_0 - 3$.
Ta có thể viết lại parabol là $x^2 = 2p(y-3)$. Đường thẳng a có dạng $y = y_0$.
Khoảng cách giữa hai giao điểm là 6, vậy $2x = 6$ hay $x = 3$. Khi đó $9 = 2p(y_0 - 3)$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng là $S = \frac{2}{3} * 6 * h = 4h$, với h là khoảng cách từ đỉnh parabol đến đường thẳng.
Thể tích $V = \pi * (b^2 * h - \frac{3}{5}b^2h) = 2\pi \int_{3}^{y_0} 2\sqrt{2p(y-3)}^2 dy$ , với $x^2= 2p(y-3)$
Vì đường thẳng a cắt tại x = 3, ta có $y = a x^2 + 3$ nên $y_0 = 9a+3$.
Áp dụng công thức tính thể tích vật tròn xoay: $V = \pi \int_{-3}^{3} (y_0^2 - (ax^2+3)^2) dx$
Vì parabol đi qua (3, y0): y = a * 9 + 3
V = $\pi 3^2 h = 9\pi h$, với $h = y_0 - 3 = a 3^2$
Khoảng cách từ đỉnh đến $\Delta$ là 3 dm. $V = \frac{1}{2} \pi r^2 h$. Suy ra r = 6. $V = \pi 3^2 6/2$
Thể tích là: $V = \frac{1}{2}* \pi * 36 * 6 = 226.2$

Gọi A là biến cố "Lần thứ ba An lấy được thẻ ghi số lẻ", B là biến cố "Lần thứ hai An lấy được thẻ ghi số chẵn".
Ta cần tính $P(A|B)$.
Ta có $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
Số các số lẻ từ 1 đến 15 là 8, số các số chẵn là 7.
Tính $P(B)$:
Lần thứ hai An lấy được thẻ ghi số chẵn. Có 7 số chẵn trong 15 số. Xác suất để lần thứ hai lấy được số chẵn là $P(B) = \frac{7}{15}$.
Tính $P(A \cap B)$:
Số kết quả thuận lợi cho $A \cap B$ là số cách chọn 2 thẻ đầu tiên sao cho thẻ thứ hai là số chẵn và thẻ thứ ba là số lẻ.
TH1: Thẻ thứ nhất là số lẻ, thẻ thứ hai là số chẵn, thẻ thứ ba là số lẻ.
TH2: Thẻ thứ nhất là số chẵn, thẻ thứ hai là số chẵn, thẻ thứ ba là số lẻ.
Bài giải đúng:
Sau lần thứ hai An lấy được thẻ ghi số chẵn, trong hộp còn lại 13 thẻ. Ta xét hai trường hợp:
* Trường hợp 1: Lần thứ nhất An lấy được thẻ lẻ. Khi đó, trong hộp còn lại 7 thẻ lẻ và 6 thẻ chẵn. Xác suất để lần thứ ba An lấy được thẻ lẻ là $\frac{7}{13}$. Xác suất xảy ra trường hợp này là $\frac{8}{15}$.
* Trường hợp 2: Lần thứ nhất An lấy được thẻ chẵn. Khi đó, trong hộp còn lại 8 thẻ lẻ và 5 thẻ chẵn. Xác suất để lần thứ ba An lấy được thẻ lẻ là $\frac{8}{13}$. Xác suất xảy ra trường hợp này là $\frac{7}{15}$.
Vậy xác suất cần tìm là: $\frac{8}{15} \cdot \frac{7}{13} + \frac{7}{15} \cdot \frac{8}{13} = \frac{112}{195} \approx 0.57$.