Câu hỏi:

Khi động năng bằng thế năng, ta có:
$W_đ = W_t = \frac{W}{2}$
$rac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}kA^2)$
với $v = 0.6$ m/s = $60$ cm/s
Ta có $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = 10$ rad/s $\Rightarrow \frac{k}{m} = 100$
$\Rightarrow k = 100m$
Thay vào phương trình trên:
$\frac{1}{2}m(60)^2 = \frac{1}{4} (100m)A^2$
$3600 = 100A^2 / 2$
$A^2 = \frac{3600 \cdot 2}{100} = 72$
$A = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \approx 8.49$ cm.
Tuy nhiên, có vẻ như đề bài hoặc đáp án có vấn đề. Nếu $v$ là vận tốc cực đại chia căn 2 thì $v_{max} = v\sqrt{2}$. $v_{max} = A\omega$, vậy $A = v_{max}/\omega = 0.6\sqrt{2}/10 = 0.06\sqrt{2}$ m = $6\sqrt{2}$ cm Nhưng điều này cũng không khớp với đáp án nào cả.
Nếu đề bài cho khi động năng bằng 3 lần thế năng, $W_d = 3 W_t \implies W_t = W/4$, thì $v= \omega \sqrt{A^2 - x^2} = 0.6$ và $x = A/2$ nên $0.6 = 10\sqrt{A^2 - A^2/4} = 10 A \sqrt{3}/2$. $A = 1.2/\sqrt{3} = 0.4\sqrt{3} $ m = $40\sqrt{3}$ cm thì càng không.
Nếu động năng bằng 1/3 thế năng thì $W_t = 3W/4$ thì càng không.
Nếu động năng bằng 3 lần thế năng, thì $v = 1.2$ thì $A = 12$ cm

Ta có công thức chu kỳ của con lắc đơn: $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$
Gọi $l$ là chiều dài ban đầu của dây treo, $T$ là chu kỳ ban đầu.
Khi giảm chiều dài đi $\Delta l = 1,2 \ m$, chu kỳ còn một nửa: $T' = \frac{T}{2}$ và $l' = l - \Delta l = l - 1,2$.
Ta có: $T' = 2\pi\sqrt{\frac{l'}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{l - 1,2}{g}} = \frac{T}{2} = \frac{1}{2} 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$
$\Rightarrow \sqrt{\frac{l - 1,2}{g}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{l}{g}}$
$\Rightarrow \frac{l - 1,2}{g} = \frac{1}{4} \frac{l}{g}$
$\Rightarrow l - 1,2 = \frac{l}{4}$
$\Rightarrow \frac{3}{4} l = 1,2$
$\Rightarrow l = \frac{4}{3} \cdot 1,2 = 1,6 \ m$.

Gọi $v$ là vận tốc của vật, $v_{max}$ là vận tốc cực đại. Ta có: $v = \frac{v_{max}}{2}$.
Ta có công thức liên hệ: $v^2 = \omega^2(A^2 - x^2) = v_{max}^2 (1 - \frac{x^2}{A^2})$
Khi $v = \frac{v_{max}}{2}$: $(\frac{v_{max}}{2})^2 = v_{max}^2(1 - \frac{x^2}{A^2})$ $\frac{1}{4} = 1 - \frac{x^2}{A^2}$ $\frac{x^2}{A^2} = \frac{3}{4}$
Thế năng: $W_t = \frac{1}{2}kx^2$ Động năng: $W_d = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m\omega^2(A^2 - x^2) = \frac{1}{2}k(A^2 - x^2)$
Tỉ số giữa thế năng và động năng: $\frac{W_t}{W_d} = \frac{\frac{1}{2}kx^2}{\frac{1}{2}k(A^2 - x^2)} = \frac{x^2}{A^2 - x^2} = \frac{\frac{3}{4}A^2}{A^2 - \frac{3}{4}A^2} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{4}} = 3$

Độ giãn của lò xo tại vị trí cân bằng là $\Delta l = 5 cm = 0.05 m$.
Ta có: $\omega = \sqrt{\frac{g}{\Delta l}} = \sqrt{\frac{10}{0.05}} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} rad/s$.
Biên độ dao động của vật là $A$. Vận tốc cực đại của vật là $v_{max} = A\omega = 30\sqrt{2} cm/s$.
$\Rightarrow A = \frac{v_{max}}{\omega} = \frac{30\sqrt{2}}{10\sqrt{2}} = 3 cm$.
Áp dụng công thức độc lập với thời gian:
$v_0^2 = \omega^2 (A^2 - x^2) = (10\sqrt{2})^2 (3^2 - 1^2) = 200(9-1) = 200 \cdot 8 = 1600$.
$\Rightarrow v_0 = \sqrt{1600} = 40 cm/s$.

Gọi $T_A, T_B$ lần lượt là chu kỳ của con lắc A và B. Gọi $l_A, l_B$ lần lượt là chiều dài của con lắc A và B. Ta có: $20T_A = 12T_B \Rightarrow 5T_A = 3T_B \Rightarrow 5(2\pi\sqrt{\frac{l_A}{g}}) = 3(2\pi\sqrt{\frac{l_B}{g}}) \Rightarrow 5\sqrt{l_A} = 3\sqrt{l_B} \Rightarrow 25l_A = 9l_B$. Mặt khác, $l_A + l_B = 68$. Suy ra $l_A + \frac{25}{9}l_A = 68 \Rightarrow \frac{34}{9}l_A = 68 \Rightarrow l_A = 68.\frac{9}{34} = 18$. Do đó $l_B = 68 - l_A = 68 - 18 = 50$. Kiểm tra lại $25l_A = 25.18 = 450$ và $9l_B = 9.50 = 450$ (thỏa mãn) Vì $20T_A = 12T_B$ nên $T_A < T_B$ suy ra $l_A < l_B$. Chu kì con lắc A ngắn hơn do chiều dài ngắn hơn. Vậy trong cùng một thời gian, số chu kì con lắc A nhiều hơn. Vậy con lắc A có $l_A=18$ và con lắc B có $l_B = 50$. Các đáp án không có giá trị 18, 50. Có lẽ câu hỏi bị sai hoặc đáp án sai. Tuy nhiên nếu hỏi chiều dài con lắc B là bao nhiêu thì đáp án gần nhất là 52. Xem lại đề bài: Nếu người ta thấy trong thời gian con lắc A dao động bé được 20 chu kì thì con lắc B dao động bé được 12 chu kỳ. $\rightarrow 20T_A = 12T_B \rightarrow T_A/T_B= 12/20 = 3/5$ $\rightarrow l_A/l_B = (3/5)^2 = 9/25 \rightarrow l_A = (9/25)l_B$ Mà $l_A + l_B = 68 \rightarrow (9/25)l_B + l_B = 68 \rightarrow l_B(9/25 + 1) = 68 \rightarrow l_B (34/25) = 68 \rightarrow l_B = 68/(34/25) = 68 * 25/34 = 2 * 25 = 50$ Vậy $l_A = 68-50=18$