Câu hỏi:

Để li độ $x > 0$ thì $\cos(\pi t - \frac{\pi}{3}) > 0$. Điều này xảy ra khi $-\frac{\pi}{2} < \pi t - \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$, tức là $-\frac{1}{2} < t - \frac{1}{3} < \frac{1}{2}$ hay $-\frac{1}{6} < t < \frac{5}{6}$.
Để vận tốc $v > 0$ thì vật phải chuyển động theo chiều dương, tức là pha dao động phải nằm trong khoảng $(-\pi/2, \pi/2)$. Vì $v = x' = -A\pi \sin(\pi t - \frac{\pi}{3})$, nên để $v > 0$ thì $\sin(\pi t - \frac{\pi}{3}) < 0$. Điều này xảy ra khi $\pi < \pi t - \frac{\pi}{3} < 2\pi$, tức là $\frac{4}{3} < t < \frac{7}{3}$.
Vậy, để cả li độ và vận tốc đều dương, ta cần $\frac{4}{3} < t < \frac{5}{6}$ và $t < \frac{7}{3}$. Kết hợp lại, ta có $\frac{11}{6} < t < \frac{7}{3}$ (vì $\frac{4}{3} = \frac{8}{6}$ và $\frac{5}{6}$ loại do $t > 4/3$).

Chu kỳ dao động của con lắc đơn được tính bởi công thức: $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.
Trong đó:

• $l$ là chiều dài của con lắc ($l = 64\,cm = 0.64\,m$).
• $g$ là gia tốc trọng trường ($g = {\pi ^2}\,m/{s^2}$).

Thay số vào công thức, ta có: $T = 2\pi \sqrt{\frac{0.64}{{\pi ^2}}} = 2\pi \cdot \frac{0.8}{\pi } = 1.6\,s$.
Vậy chu kỳ dao động của con lắc là 1,6 s.

Gọi $l$ là chiều dài ban đầu của con lắc.
Ta có:
- Chu kì dao động ban đầu: $T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$
- Chu kì dao động sau khi giảm chiều dài: $T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{l - \Delta \ell}{g}}$

Số dao động thực hiện được trong thời gian $\Delta t$ là: $n = \frac{\Delta t}{T}$
Ta có:
$\frac{\Delta t}{T_1} = 39 \Rightarrow T_1 = \frac{\Delta t}{39}$
$\frac{\Delta t}{T_2} = 40 \Rightarrow T_2 = \frac{\Delta t}{40}$

Suy ra: $\frac{T_1}{T_2} = \frac{40}{39} \Leftrightarrow \sqrt{\frac{l}{l - \Delta \ell}} = \frac{40}{39}$
$\Leftrightarrow \frac{l}{l - 7.9} = \left(\frac{40}{39}\right)^2 = \frac{1600}{1521}$
$\Leftrightarrow 1521l = 1600(l - 7.9)$
$\Leftrightarrow 1521l = 1600l - 12640$
$\Leftrightarrow 79l = 12640$
$\Leftrightarrow l = \frac{12640}{79} = 160$ cm.
Vậy đáp án là C.

Ta có công thức liên hệ giữa gia tốc cực đại $a_{max}$, vận tốc cực đại $v_{max}$ và biên độ $A$ như sau:

• $a_{max} = \omega^2 A = a_0$
• $v_{max} = \omega A = v_0$

Từ đó suy ra: $\omega = \frac{a_0}{v_0}$
Thay vào $v_0 = \omega A$ ta được:
$v_0 = \frac{a_0}{v_0} A \Rightarrow A = \frac{v_0^2}{a_0}$

Chu kỳ dao động của con lắc lò xo được tính theo công thức:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
Trong đó:

• $T$ là chu kỳ dao động
• $m$ là khối lượng của vật
• $k$ là độ cứng của lò xo