Câu hỏi:

Ta có công thức liên hệ giữa gia tốc cực đại $a_{max}$, vận tốc cực đại $v_{max}$ và biên độ $A$ như sau:

• $a_{max} = \omega^2 A = a_0$
• $v_{max} = \omega A = v_0$

Từ đó suy ra: $\omega = \frac{a_0}{v_0}$
Thay vào $v_0 = \omega A$ ta được:
$v_0 = \frac{a_0}{v_0} A \Rightarrow A = \frac{v_0^2}{a_0}$

Chu kỳ dao động của con lắc lò xo được tính theo công thức:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
Trong đó:

• $T$ là chu kỳ dao động
• $m$ là khối lượng của vật
• $k$ là độ cứng của lò xo

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho con lắc đơn:
Cơ năng tại vị trí biên: $E = mgl(1 - cos{\alpha _0})$
Cơ năng tại vị trí có li độ góc $\alpha$: $E = mgl(1 - cos{\alpha }) + \frac{1}{2}m{v^2}$
Suy ra: $mgl(1 - cos{\alpha _0}) = mgl(1 - cos{\alpha }) + \frac{1}{2}m{v^2}$
$\Leftrightarrow gl(1 - cos{\alpha _0}) = gl(1 - cos{\alpha }) + \frac{1}{2}{v^2}$
$\Leftrightarrow 2gl(1 - cos{\alpha _0}) = 2gl(1 - cos{\alpha }) + {v^2}$
$\Leftrightarrow 2gl - 2glcos{\alpha _0} = 2gl - 2glcos{\alpha } + {v^2}$
$\Leftrightarrow -2glcos{\alpha _0} = -2glcos{\alpha } + {v^2}$
$\Leftrightarrow 2glcos{\alpha } - 2glcos{\alpha _0} = {v^2}$
Với góc nhỏ, ta có $cos\alpha \approx 1 - \frac{{{\alpha ^2}}}{2}$
$\Rightarrow 2gl(1 - \frac{{{\alpha ^2}}}{2}) - 2gl(1 - \frac{{\alpha _0^2}}{2}) = {v^2}$
$\Leftrightarrow 2gl - gl{\alpha ^2} - 2gl + gl\alpha _0^2 = {v^2}$
$\Leftrightarrow gl\alpha _0^2 - gl{\alpha ^2} = {v^2}$
$\Leftrightarrow gl(\alpha _0^2 - {\alpha ^2}) = {v^2}$
$\Leftrightarrow \alpha _0^2 - {\alpha ^2} = \frac{{{v^2}}}{{gl}}$
$\Leftrightarrow \alpha _0^2 = {\alpha ^2} + \frac{{{v^2}}}{{gl}}$

Ta có:

• Độ cứng của lò xo: $k = 36 N/m$
• Khối lượng của vật: $m = 100g = 0.1 kg$

Tần số góc của dao động điều hòa: $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{36}{0.1}} = \sqrt{360} = 6\sqrt{10} \approx 6\pi (rad/s)$

Tần số của dao động điều hòa: $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{6\pi}{2\pi} = 3 Hz$
Động năng biến thiên tuần hoàn với tần số gấp đôi tần số dao động của vật.
Do đó, tần số biến thiên của động năng là: $f' = 2f = 2 * 3 = 6 Hz$

Ta có công thức độc lập với thời gian:

• $A^2 = x_1^2 + \frac{v_1^2}{\omega^2}$
• $A^2 = x_2^2 + \frac{v_2^2}{\omega^2}$

Suy ra: $x_1^2 + \frac{v_1^2}{\omega^2} = x_2^2 + \frac{v_2^2}{\omega^2}$
Thay số: $(8\sqrt{3})^2 + \frac{20^2}{\omega^2} = (8\sqrt{2})^2 + \frac{(20\sqrt{2})^2}{\omega^2}$
$192 + \frac{400}{\omega^2} = 128 + \frac{800}{\omega^2}$
$\frac{400}{\omega^2} = 64 \Rightarrow \omega^2 = \frac{400}{64} = \frac{25}{4} \Rightarrow \omega = \frac{5}{2} rad/s$
Lại có: $A^2 = (8\sqrt{3})^2 + \frac{20^2}{(\frac{5}{2})^2} = 192 + \frac{400}{\frac{25}{4}} = 192 + 64 = 256$
$A = \sqrt{256} = 16 cm$
Vận tốc cực đại $v_{max} = A\omega = 16.\frac{5}{2} = 40 cm/s$