Câu hỏi:

Ta có công thức chu kỳ của con lắc đơn: $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$
Gọi $l$ là chiều dài ban đầu của dây treo, $T$ là chu kỳ ban đầu.
Khi giảm chiều dài đi $\Delta l = 1,2 \ m$, chu kỳ còn một nửa: $T' = \frac{T}{2}$ và $l' = l - \Delta l = l - 1,2$.
Ta có: $T' = 2\pi\sqrt{\frac{l'}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{l - 1,2}{g}} = \frac{T}{2} = \frac{1}{2} 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$
$\Rightarrow \sqrt{\frac{l - 1,2}{g}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{l}{g}}$
$\Rightarrow \frac{l - 1,2}{g} = \frac{1}{4} \frac{l}{g}$
$\Rightarrow l - 1,2 = \frac{l}{4}$
$\Rightarrow \frac{3}{4} l = 1,2$
$\Rightarrow l = \frac{4}{3} \cdot 1,2 = 1,6 \ m$.

Gọi $v$ là vận tốc của vật, $v_{max}$ là vận tốc cực đại. Ta có: $v = \frac{v_{max}}{2}$.
Ta có công thức liên hệ: $v^2 = \omega^2(A^2 - x^2) = v_{max}^2 (1 - \frac{x^2}{A^2})$
Khi $v = \frac{v_{max}}{2}$: $(\frac{v_{max}}{2})^2 = v_{max}^2(1 - \frac{x^2}{A^2})$ $\frac{1}{4} = 1 - \frac{x^2}{A^2}$ $\frac{x^2}{A^2} = \frac{3}{4}$
Thế năng: $W_t = \frac{1}{2}kx^2$ Động năng: $W_d = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m\omega^2(A^2 - x^2) = \frac{1}{2}k(A^2 - x^2)$
Tỉ số giữa thế năng và động năng: $\frac{W_t}{W_d} = \frac{\frac{1}{2}kx^2}{\frac{1}{2}k(A^2 - x^2)} = \frac{x^2}{A^2 - x^2} = \frac{\frac{3}{4}A^2}{A^2 - \frac{3}{4}A^2} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{4}} = 3$

Độ giãn của lò xo tại vị trí cân bằng là $\Delta l = 5 cm = 0.05 m$.
Ta có: $\omega = \sqrt{\frac{g}{\Delta l}} = \sqrt{\frac{10}{0.05}} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} rad/s$.
Biên độ dao động của vật là $A$. Vận tốc cực đại của vật là $v_{max} = A\omega = 30\sqrt{2} cm/s$.
$\Rightarrow A = \frac{v_{max}}{\omega} = \frac{30\sqrt{2}}{10\sqrt{2}} = 3 cm$.
Áp dụng công thức độc lập với thời gian:
$v_0^2 = \omega^2 (A^2 - x^2) = (10\sqrt{2})^2 (3^2 - 1^2) = 200(9-1) = 200 \cdot 8 = 1600$.
$\Rightarrow v_0 = \sqrt{1600} = 40 cm/s$.

Gọi $T_A, T_B$ lần lượt là chu kỳ của con lắc A và B. Gọi $l_A, l_B$ lần lượt là chiều dài của con lắc A và B. Ta có: $20T_A = 12T_B \Rightarrow 5T_A = 3T_B \Rightarrow 5(2\pi\sqrt{\frac{l_A}{g}}) = 3(2\pi\sqrt{\frac{l_B}{g}}) \Rightarrow 5\sqrt{l_A} = 3\sqrt{l_B} \Rightarrow 25l_A = 9l_B$. Mặt khác, $l_A + l_B = 68$. Suy ra $l_A + \frac{25}{9}l_A = 68 \Rightarrow \frac{34}{9}l_A = 68 \Rightarrow l_A = 68.\frac{9}{34} = 18$. Do đó $l_B = 68 - l_A = 68 - 18 = 50$. Kiểm tra lại $25l_A = 25.18 = 450$ và $9l_B = 9.50 = 450$ (thỏa mãn) Vì $20T_A = 12T_B$ nên $T_A < T_B$ suy ra $l_A < l_B$. Chu kì con lắc A ngắn hơn do chiều dài ngắn hơn. Vậy trong cùng một thời gian, số chu kì con lắc A nhiều hơn. Vậy con lắc A có $l_A=18$ và con lắc B có $l_B = 50$. Các đáp án không có giá trị 18, 50. Có lẽ câu hỏi bị sai hoặc đáp án sai. Tuy nhiên nếu hỏi chiều dài con lắc B là bao nhiêu thì đáp án gần nhất là 52. Xem lại đề bài: Nếu người ta thấy trong thời gian con lắc A dao động bé được 20 chu kì thì con lắc B dao động bé được 12 chu kỳ. $\rightarrow 20T_A = 12T_B \rightarrow T_A/T_B= 12/20 = 3/5$ $\rightarrow l_A/l_B = (3/5)^2 = 9/25 \rightarrow l_A = (9/25)l_B$ Mà $l_A + l_B = 68 \rightarrow (9/25)l_B + l_B = 68 \rightarrow l_B(9/25 + 1) = 68 \rightarrow l_B (34/25) = 68 \rightarrow l_B = 68/(34/25) = 68 * 25/34 = 2 * 25 = 50$ Vậy $l_A = 68-50=18$

Ta có tần số dao động của con lắc là: $f = \frac{n}{\Delta t}$
Khi chiều dài là $l$, tần số là $f_1 = \frac{60}{\Delta t} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}}$ (1)
Khi chiều dài là $l' = l + 0.44$, tần số là $f_2 = \frac{50}{\Delta t} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l+0.44}}$ (2)
Lấy (1) chia (2) ta được: $\frac{60}{50} = \sqrt{\frac{l+0.44}{l}}$
$\Rightarrow \frac{36}{25} = \frac{l+0.44}{l}$
$\Rightarrow 36l = 25l + 25 \times 0.44$
$\Rightarrow 11l = 11$
$\Rightarrow l = 1 m = 100 cm$
Suy ra: $l = 0.81 m = 81 cm$