Giả sử \(5%\) email của bạn nhận được là email rác. Bạn sử dụng một hệ thống lọc email rác mà khả năng lọc đúng email rác của hệ thống này là \(95%\) và có \(10%\) những email không phải là email rác nhưng vẫn bị lọc.

Ta có các điểm: \(O\left( 0;0;0 \right)\) \({O}'\left( 0;0;4 \right)\) \(A\left( 2;0;0 \right)\) \(C\left( 0;3;0 \right)\).

 a) Sai.

Ta có: \(\overrightarrow{OA}=\left( 2;0;0 \right)\); \(\left| \overrightarrow{OA} \right|=\sqrt{{{2}^{2}}}=2\).

Mặt cầu tâm \(O\) bán kính \(OA\) có phương trình là:

\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=4\).

b) Đúng.

Do mặt cầu tâm \(A\) đi qua \(C\) ta lấy bán kính là \(AC\).

Ta có: \(\overrightarrow{AC}=\left( -2;3;0 \right)\); \(\left| \overrightarrow{AC} \right|=\sqrt{{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{3}^{2}}}=\sqrt{13}\).

Mặt cầu tâm \(A\) bán kính \(AC\) có phương trình là:

\({{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=13\).

c) Sai.

Do \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên mặt phẳng \(\left( {O}'AC \right)\) và độ dài \(OH\) cũng là khoảng cách từ \(O\) đến \(\left( {O}'AC \right)\) nên \(d\left( O,\left( {O}'AC \right) \right)=R=OH\).

Ta có:

\(\overrightarrow{{O}'A}=\left( 2;0;-4 \right)\); \(\overrightarrow{{O}'C}=\left( 0;3;-4 \right)\); \(\left[ \overrightarrow{{O}'A},\overrightarrow{{O}'C} \right]=\left( 12;8;6 \right)=\left( 6;4;3 \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( {O}'AC \right)\): \(6x+4y+3z-12=0\).

\(d\left( O,\left( {O}'AC \right) \right)=\frac{\left| -12 \right|}{\sqrt{{{6}^{2}}+{{4}^{2}}+{{3}^{2}}}}=\frac{12\sqrt{61}}{61}=OH\).

Vậy phương trình mặt cầu tâm \(O\) bán kính \(OH\) là:

\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=\frac{144}{61}\).

Cách 2:

Do \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên mặt phẳng \(\left( {O}'AC \right)\) và độ dài \(OH\) cũng là khoảng cách từ \(O\) đến \(\left( {O}'AC \right)\) nên \(d\left( O,\left( {O}'AC \right) \right)=R=OH\).

\(\begin{align}  & \frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{O{{A}^{2}}}+\frac{1}{O{{C}^{2}}}+\frac{1}{O{{{{O}'}}^{2}}}\Rightarrow \frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}=\frac{61}{144} \\  & \Rightarrow O{{H}^{2}}=\frac{144}{61}={{R}^{2}}. \\ \end{align}\)

d) Đúng.

Gọi \(I\) là trung điểm của \(A{C}'\) (đường chéo hình hộp chữ nhật).

Ta có: \(A\left( 2;0;0 \right)\) \({C}'\left( 0;3;4 \right)\) \(I\left( 1;\frac{3}{2};2 \right)\).

Do \(I\) là tâm của hình hộp chữ nhật nên \(I\) là tâm của hình cầu với bán kính là từ \(I\) đến các đỉnh ta lấy \(IA=R\).

Ta có: \(\overrightarrow{IA}=\left( 1;-\frac{3}{2};-2 \right)\) \(\left| \overrightarrow{IA} \right|=\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -\frac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{29}}{2}\).

Phương trình mặt cầu tâm \(I\) bán kính \(IA\) là:

\({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=\frac{29}{4}\).

Gọi \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) \(M\) là trung điểm của \(AC\).

Suy ra hình chiếu vuông góc của \({B}'\) lên mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) là \(G\) hay \({B}'G\bot \left( ABC \right)\).

Vì \(BG\) là hình chiếu vuông góc của \({B}'G\) lên mặt phẳng \(\left( ABC \right)\)

Nên góc giữa \(B{B}'\) và mặt đáy \(\left( ABC \right)\) bằng góc giữa \(B{B}'\) và \(BG\) và bằng góc \(\widehat{{B}'BG}\).

Suy ra \(\widehat{{B}'BG}=60{}^\circ \).

Vì \({A}'{B}'\,\text{//}\,\left( ABC \right)\) nên \(d\left( {A}',\left( ABC \right) \right)=d\left( {B}',\left( ABC \right) \right)={B}'G\).

Xét \(\Delta B{B}'G\) vuông tại \(G\) có \(B{B}'=A{A}'=2\sqrt[3]{26}\) và \(\widehat{{B}'BG}=60{}^\circ \)

\(\sin \widehat{{B}'BG}=\frac{{B}'G}{B{B}'}\)\(\Rightarrow {B}'G=2\sqrt[3]{26}\cdot \sin 60{}^\circ =\sqrt{3}\cdot \sqrt[3]{26}\).

Suy ra \(d\left( {A}',\left( ABC \right) \right)=\sqrt{3}\cdot \sqrt[3]{26}\).

\(BG=\sqrt{B{{{{B}'}}^{2}}-{B}'{{G}^{2}}}=\sqrt[3]{26}\).

\(\Rightarrow BM=\frac{3}{2}BG=\frac{3}{2}\cdot \sqrt[3]{26}\).

\(\Delta ACB\) vuông tại \(C\) có \(\tan \widehat{CAB}=\frac{BC}{AC}\).

\(\Rightarrow BC=AC\cdot \tan 60{}^\circ =\sqrt{3}AC\).

\(\Delta MCB\) vuông tại \(C\) có:

\(M{{B}^{2}}=B{{C}^{2}}+M{{C}^{2}}\).

\(\Leftrightarrow {{\left( \frac{3}{2}\cdot \sqrt[3]{26} \right)}^{2}}=3A{{C}^{2}}+\frac{A{{C}^{2}}}{4}=\frac{13}{4}A{{C}^{2}}\)

\(\Leftrightarrow AC=\frac{3\sqrt{13}}{13}\sqrt[3]{26}\).

\(\Rightarrow BC=\frac{3\sqrt{39}}{13}\cdot \sqrt[3]{26}\).

Vậy \({{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC=\frac{9\sqrt{3}}{26}\cdot \sqrt[3]{{{26}^{2}}}\).

Suy ra \({{V}_{{A}'ABC}}=\frac{1}{3}\cdot {B}'G\cdot {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{3}\sqrt{3}.\sqrt[3]{26}.\frac{9\sqrt{3}}{26}\sqrt[3]{{{26}^{2}}}=9\).

Từ hình chiếu đứng, hình chiếu cạnh và hình chiếu bằng của chi tiết máy ta suy ra hình thực của chi tiết máy như hình vẽ dưới đây:

Gọi \({{V}_{1}}\) là thể tích của khối hộp chữ nhật có ba kích thước là \(36,\,30,\,12\);

\({{V}_{2}}\) là thể tích của khối hộp chữ nhật có ba kích thước là \(36,\,24,\,28\);

\({{V}_{3}}\) là thể tích của khối hộp chữ nhật có ba kích thước là \(16,\,20,\,12\);

\({{V}_{4}}\) là thể tích khối bán trụ có bán kính đáy bằng \(11\) chiều cao bằng \(28\).

Thể tích của khối đồ chơi đó là:

\(\begin{array}{*{35}{l}}   V & ={{V}_{1}}+{{V}_{2}}-\left( {{V}_{3}}+{{V}_{4}} \right)  \\   {} & =36\cdot 30\cdot 12+36\cdot 24\cdot 28-\left( 16\cdot 20\cdot 12+\frac{1}{2}\pi \cdot {{11}^{2}}\cdot 28 \right)  \\   {} & \approx 27990  \\   \Rightarrow  & \frac{V}{2025}\approx 14.  \\\end{array}\)

Chọn hệ trục tọa độ \(Axyz\) như hình vẽ.

Khi đó \(A(0;0;0)\); \(E(0;0;\frac{1}{2})\); \(H(0;5;\frac{1}{2})\); \(I(10;\frac{5}{2};0)\).

Gọi \(H'\) là điểm đối xứng với \(I\) qua mặt phẳng \((ABFE)\).

\(\Rightarrow \,H'(10;-\frac{5}{2};0)\); \(P=H'H\cap (ABF\text{E})\).

Nên \(HM+MI=HM+MH'\ge HH'\).

Tương tự \(EN+NI=EN+NK\ge EK\) mà \(EK=HH'\).

Do đó \(HM+MI+IN+NE\ge 2HH'\,\).

Suy ra độ dài đường gấp khúc nhỏ nhất bằng \(2HH'\).

\(HH'\,=\sqrt{{{(10-0)}^{2}}+{{\left( -\frac{5}{2}-5 \right)}^{2}}+{{(0-\frac{1}{2})}^{2}}}=\sqrt{\frac{626}{4}}=\frac{\sqrt{626}}{2}(m)\).

Giá tiền ít nhất cần phải trả là:

\(2\text{x}\frac{\sqrt{626}}{2}\text{x26}\text{.000+200000=850}\text{.519}\approx \text{851}\text{.000}\) đồng.

Vây \(a=851\) nghìn đồng.

Diện tích mặt cắt: \(S\left( x \right)={{\left( \sqrt{4-{{x}^{2}}} \right)}^{2}}=4-{{x}^{2}}\).

Thể tích cái màn:

\(V=\int_{0}^{2}{S\left( x \right)}dx=\int_{0}^{2}{\left( 4-{{x}^{2}} \right)}dx=\left. \left( 4x-\frac{{{x}^{3}}}{3} \right) \right|_{0}^{2}=\frac{16}{3}\approx 5,3\,\left( {{m}^{3}} \right)\).