Câu hỏi:

Phương trình dao động điều hòa của vật là $x = 2\cos(5t - \frac{\pi}{6})$.
Vật đi qua vị trí cân bằng khi $x = 0$.
$2\cos(5t - \frac{\pi}{6}) = 0$
$\Rightarrow 5t - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k\pi$, với $k$ là số nguyên.
$\Rightarrow 5t = \frac{2\pi}{3} + k\pi$
$\Rightarrow t = \frac{2\pi}{15} + \frac{k\pi}{5} = \frac{(2 + 3k)\pi}{15}$
Trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, ta có $0 \le t \le 6$.
$0 \le \frac{(2 + 3k)\pi}{15} \le 6$
$0 \le 2 + 3k \le \frac{90}{\pi} \approx 28.65$
$-2 \le 3k \le 26.65$
$-\frac{2}{3} \le k \le 8.88$
Vì $k$ là số nguyên, nên $k$ có thể nhận các giá trị $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$.
Vậy có 9 lần vật đi qua vị trí cân bằng khi đi theo chiều dương. Tuy nhiên, mỗi chu kỳ vật đi qua vị trí cân bằng 2 lần. Ta cần xét số chu kỳ vật thực hiện được trong 6 giây.
Chu kỳ $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{5}$.
Số chu kỳ là $n = \frac{6}{T} = \frac{6}{\frac{2\pi}{5}} = \frac{30}{2\pi} = \frac{15}{\pi} \approx 4.77$.
Vậy vật thực hiện gần 5 chu kỳ dao động. Mỗi chu kỳ đi qua vị trí cân bằng 2 lần nên số lần vật đi qua vị trí cân bằng là $2 \times 4.77 \approx 9.54$. Vì số lần đi qua phải là số nguyên, ta cần tính toán chính xác hơn.
Ta có $t = \frac{(2 + 3k)\pi}{15}$. Vì vậy, giữa hai lần liên tiếp vật đi qua vị trí cân bằng, thời gian là $\frac{3\pi}{15} = \frac{\pi}{5} \approx 0.628 s$.
Số lần vật qua vị trí cân bằng là số nghiệm nguyên của $k$ thỏa mãn $0 < t < 6$. $t = \frac{(2+3k)\pi}{15} < 6$ $\Rightarrow k < \frac{90}{3\pi} - \frac{2}{3} \approx 8.88$ nên $k \le 8$. $t = \frac{(2+3k)\pi}{15} > 0$ $\Rightarrow k > -\frac{2}{3}$. $k$ có thể nhận các giá trị $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$. Vậy vật đi qua vị trí cân bằng 2 lần trong mỗi chu kỳ, với số chu kỳ là $\lfloor\frac{6}{T}\rfloor = 4$ chu kỳ, nên đi qua $2 \times 4 = 8$ lần, và trong khoảng thời gian lẻ còn lại, vật đi qua vị trí cân bằng khoảng 1 lần (khi đi qua vị trí cân bằng lần đầu). Do đó, vật đi qua khoảng 9 lần. Ta thấy rằng với mỗi giá trị của k, ta tính được một thời điểm vật đi qua vị trí cân bằng. Vì vậy, có 9 giá trị của k, nên có 9 lần vật đi qua vị trí cân bằng theo một chiều. Do đó, số lần đi qua là $2 \times 9 = 18$ lần và có vẻ đáp án gần nhất là 20.