Câu hỏi:

Ta có: \(\sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi}\end{array}} \right.\)

Đáp án đúng là B.

Mệnh đề sai là: \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CB}\), \(\overrightarrow{AD}\) và \(\overrightarrow{CB}\) là hai Vectơ đối nhau.

Đáp án đúng là D.

Hình chiếu của điểm \(A(2; -1; 1)\) lên trục tung là điểm \(H(0; -1; 0)\).

Đáp án đúng là B.

a) Để tìm tiệm cận ngang của hàm số bậc nhất trên bậc nhất, ta xét giới hạn:

\(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x + 3}{x - 1} = 2\).

Do đó, đường thẳng \(y = 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Đáp án đúng là Đúng.

b) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{ax + b}{cx + d}\) là giao điểm của hai đường tiệm cận.

- Tiệm cận đứng: \(x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

- Tiệm cận ngang: \(y = 2\).

Vậy tâm đối xứng của đồ thị (C) là điểm \(I(1; 2)\). Phát biểu ghi \(I(2; 3)\) là sai.

Đáp án đúng là Sai.

c) Giao điểm của (C) với trục \(Oy\) là điểm \(M(0; -3)\).

Tính đạo hàm của hàm số: \(y' = \frac{2(x - 1) - (2x + 3)}{(x - 1)^2} = \frac{-5}{(x - 1)^2}\).

Hệ số góc của tiếp tuyến tại \(x = 0\) là: \(k = y'(0) = \frac{-5}{(0 - 1)^2} = -5\).

Phương trình tiếp tuyến tại \(M(0; -3)\) là: \(y = -5(x - 0) - 3 \Leftrightarrow y = -5x - 3\).

Đáp án đúng là Đúng.

d) Gọi điểm \(M(x_0; y_0) \in (C)\) với \(y_0 = \frac{2x_0 + 3}{x_0 - 1} = 2 + \frac{5}{x_0 - 1}\).

- Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng \(\Delta_1: x - 1 = 0\) là: \(d_1 = |x_0 - 1|\).

- Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang \(\Delta_2: y - 2 = 0\) là: \(d_2 = |y_0 - 2| = \left| \frac{5}{x_0 - 1} \right|\).

Tích hai khoảng cách là: \(d_1 \cdot d_2 = |x_0 - 1| \cdot \frac{5}{|x_0 - 1|} = 5\).

Phát biểu ghi tích khoảng cách bằng 3 là sai.

Đáp án đúng là Sai.

a) Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a, x = b\) là \(S = \int_a^b |f(x)| dx\).

Với (H), ta có \(a = 0, b = 9\) và \(f(x) = \sqrt{x}\). Do \(\sqrt{x} \geq 0\) trên \([0; 9]\) nên \(S = \int_0^9 \sqrt{x} \, dx\).

Đáp án đúng là Đúng.

b) Thể tích khối tròn xoay khi quay (H) quanh trục Ox là:

\(V = \pi \int_0^9 (\sqrt{x})^2 \, dx = \pi \int_0^9 x \, dx = \pi \left. \left( \frac{x^2}{2} \right) \right|_0^9 = \frac{81\pi}{2}\).

Đáp án đúng là Đúng.

c) Diện tích \(S_1\) được tính bởi:

\(S_1 = \int_0^m \sqrt{x} \, dx = \left. \left( \frac{2}{3}x\sqrt{x} \right) \right|_0^m\).

Phát biểu ghi nguyên hàm là \(\frac{3}{2}x\sqrt{x}\) là sai (hệ số đúng phải là \(\frac{2}{3}\)).

Đáp án đúng là Sai.

d) Trước hết, tính \(S = S_1\) tại \(m = 9\):

\(S = \frac{2}{3} \cdot 9 \cdot \sqrt{9} = \frac{2}{3} \cdot 27 = 18\).

Theo đề bài \(S = 8S_1 \Rightarrow 18 = 8 \cdot \left( \frac{2}{3}m\sqrt{m} \right) \Rightarrow 18 = \frac{16}{3}m\sqrt{m}\).

\(\Rightarrow m\sqrt{m} = \frac{54}{16} = \frac{27}{8} \Rightarrow m\sqrt{m} = \left( \frac{3}{2} \right)^3 \Rightarrow m = \left( \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{9}{4}\).

Tọa độ điểm M có hoành độ \(m = \frac{9}{4}\).

Với \(a = 9, b = 4\) (phân số tối giản), ta có \(ab = 9 \times 4 = 36\). Phát biểu ghi \(ab = 24\) là sai.

Đáp án đúng là Sai.