Câu hỏi:

a) Đơn vị trên các trục tọa độ là mét (m), trong khi bán kính phủ sáng cho là 40 km = 40 000 m.

Phương trình mặt cầu ranh giới phải là: \((x - 17)^2 + (y - 20)^2 + (z - 45)^2 = 40\,000^2\).

Phát biểu ghi bán kính là 40 (tương ứng 40 m) là sai đơn vị.

Đáp án đúng là Sai.

b) Khoảng cách từ người đi biển tại \(M(18; 21; 50)\) đến hải đăng \(I(17; 20; 45)\) là:

\(IM = \sqrt{(18-17)^2 + (21-20)^2 + (50-45)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 5^2} = \sqrt{27} \approx 5,2\) (m).

Vì \(5,2 \text{ m} < 40\,000 \text{ m}\) nên người này nằm rất gần hải đăng và hoàn toàn nhìn thấy ánh sáng. Phát biểu nói không thể nhìn thấy là sai.

Đáp án đúng là Sai.

c) Vùng phủ sáng là một khối cầu bán kính \(R = 40\) km. Khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm bất kỳ trong khối cầu này chính là đường kính của khối cầu.

\(d_{max} = 2R = 2 \times 40 = 80\) (km).

Vậy khoảng cách giữa hai người không quá 80 km là đúng.

Đáp án đúng là Đúng.

d) Phân tích chuyển động của máy bay:

- Sau 40 phút (từ lúc ở M), máy bay đến Q. Vectơ dịch chuyển \(\overrightarrow{MQ} = (400; 200; 20\,000)\).

- Thời điểm 30 phút (điểm N) tương ứng với \(\frac{3}{4}\) quãng đường từ M đến Q.

Tọa độ điểm N: \(\overrightarrow{ON} = \overrightarrow{OM} + \frac{3}{4}\overrightarrow{MQ} = (1000; 600; 140\,000) + (300; 150; 15\,000) = (1300; 750; 155\,000)\).

- Bán kính ra đa: \(R_{radar} = 4 \times 40 = 160\) km = 160 000 m.

- Khoảng cách từ I đến N:

\(IN = \sqrt{(1300-17)^2 + (750-20)^2 + (155\,000-45)^2} \approx \sqrt{154\,955^2} \approx 154\,955\) (m).

Vì \(154\,955 \text{ m} < 160\,000 \text{ m}\) nên tại vị trí N, máy bay vẫn nằm trong vùng quét của ra đa.

Đáp án đúng là Đúng.

Phân loại chi tiết số lượng bi trong hộp:

- Bi đỏ có đánh số: 50 × 60% = 30 (viên).

- Bi đỏ không đánh số: 50 - 30 = 20 (viên).

- Bi vàng có đánh số: 30 × 50% = 15 (viên).

- Bi vàng không đánh số: 30 - 15 = 15 (viên).

a) Xác suất chọn được viên bi màu đỏ là:

\(P = \frac{50}{80} = 0,625 = 62,5%\).

Đáp án đúng là Đúng.

b) Xác suất chọn được viên bi màu vàng có đánh số là:

\(P = \frac{15}{80} = 0,1875 = 18,75%\). Phát biểu ghi 81,25% là sai.

Đáp án đúng là Sai.

c) Tổng số viên bi không đánh số là: \(20 + 15 = 35\) (viên).

Xác suất chọn được viên bi không đánh số là:

\(P = \frac{35}{80} = 0,4375 = 43,75%\).

Đáp án đúng là Đúng.

d) Giả sử viên bi lấy ra chưa được đánh số (tổng cộng 35 viên):

- Xác suất là bi đỏ: \(P(\text{Đỏ}|\text{Chưa đánh số}) = \frac{20}{35} = \frac{4}{7}\).

- Xác suất là bi vàng: \(P(\text{Vàng}|\text{Chưa đánh số}) = \frac{15}{35} = \frac{3}{7}\).

Vì \(\frac{4}{7} > \frac{3}{7}\) nên xác suất là bi đỏ cao hơn xác suất là bi vàng. Phát biểu ghi thấp hơn là sai.

Đáp án đúng là Sai.

Ta có: \(\left\{\begin{array}{l}A B \perp B C \\ S A \perp B C\end{array} \Rightarrow B C \perp(S A B) \Rightarrow d(C,(S A B))=B C=2\right.\).

Lại có: \(\left\{\begin{array}{l}B C=(S B C) \cap(A B C) \\ A B \perp B C \\ S A \perp B C\end{array} \Rightarrow[S, B C, A]=S B A=45^{\circ}\right.\)

Khi đó tam giác \(S A B\) vuông cân tại \(A\) suy ra \(S A=A B=1\).

Thể tích của khối chóp \(S \cdot A B C\) là \(V=\frac{1}{3} S_{A B C} \cdot S A=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} B A \cdot B C \cdot S A=\frac{1}{6} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1=\frac{1}{3} \approx 0,33\).

Đáp án đúng là 0,33.

Giả sử An và Bình gặp nhau tại điểm \(C\) sau thời gian \(t\) (giây).

- Quãng đường An đi được: \(AC = v_A \cdot t = 8t\).

- Quãng đường Bình đi được: \(BC = v_B \cdot t\).

- Khoảng cách ban đầu: \(AB = 100\) m.

- Góc tạo bởi hướng đi của An và AB là \(\widehat{BAC} = 60^{\circ}\).

\(BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\widehat{BAC})\)

\((v_B \cdot t)^2 = 100^2 + (8t)^2 - 2 \cdot 100 \cdot 8t \cdot \cos(60^{\circ})\)

\(v_B^2 \cdot t^2 = 10\,000 + 64t^2 - 1\,600t \cdot \frac{1}{2}\)

\(v_B^2 \cdot t^2 = 64t^2 - 800t + 10\,000\)

Để tồn tại \(v_B\), ta cô lập \(v_B^2\):

\(v_B^2 = 64 - \frac{800}{t} + \frac{10\,000}{t^2}\)

Đặt \(x = \frac{1}{t}\) (\(x > 0\)), biểu thức trở thành một hàm số bậc hai:

\(f(x) = 10\,000x^2 - 800x + 64\)

Vận tốc \(v_B\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(f(x)\) đạt giá trị nhỏ nhất. Đây là parabol có đỉnh tại:

\(x = \frac{-(-800)}{2 \cdot 10\,000} = \frac{800}{20\,000} = 0,04\).

Giá trị nhỏ nhất của \(f(x)\) là:

\(f(0,04) = 10\,000 \cdot (0,04)^2 - 800 \cdot 0,04 + 64 = 16 - 32 + 64 = 48\).

Suy ra \(v_{B,min}^2 = 48 \Rightarrow v_{B,min} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \approx 6,93\).

Đáp án đúng là 6,93.

Có hai trường hợp để Lan có lớp học mỗi ngày trong tuần:

Trường hợp 1: Có 2 ngày có 2 lớp học, và 3 ngày còn lại có 1 lớp học.

Số khả năng cho trường hợp 1 là \(C_5^2 \cdot (C_6^2)^2 \cdot (C_6^1)^3\).

(Chọn 2 ngày trong 5 ngày có 2 lớp học, mỗi ngày đó chọn 2 lớp trong số 6 lớp; 3 ngày còn lại mỗi ngày chọn 1 lớp trong 6 lớp → có \((C_6^1)^3\) cách).

Trường hợp 2: Có 1 ngày có 3 lớp học, và 4 ngày còn lại mỗi ngày có 1 lớp học.

Số khả năng cho trường hợp 2 là \(C_5^1 C_6^3 \cdot (C_6^1)^4\).

(Chọn 1 ngày có 3 lớp học trong 5 ngày, chọn 3 lớp trong 6 lớp cho ngày đó; 4 ngày còn lại mỗi ngày chọn 1 lớp → \((C_6^1)^4\) cách).

Vậy xác suất cần tính là \(\frac{C_5^2 \cdot (C_6^2)^2 \cdot (C_6^1)^3 + C_5^1 C_6^3 \cdot (C_6^1)^4}{C_{30}^7} = \frac{114}{377} = \frac{m}{n}\). Suy ra \(m + n = 491\).

Đáp án đúng là 491.