Câu hỏi:

Phân loại chi tiết số lượng bi trong hộp:

- Bi đỏ có đánh số: 50 × 60% = 30 (viên).

- Bi đỏ không đánh số: 50 - 30 = 20 (viên).

- Bi vàng có đánh số: 30 × 50% = 15 (viên).

- Bi vàng không đánh số: 30 - 15 = 15 (viên).

a) Xác suất chọn được viên bi màu đỏ là:

\(P = \frac{50}{80} = 0,625 = 62,5%\).

Đáp án đúng là Đúng.

b) Xác suất chọn được viên bi màu vàng có đánh số là:

\(P = \frac{15}{80} = 0,1875 = 18,75%\). Phát biểu ghi 81,25% là sai.

Đáp án đúng là Sai.

c) Tổng số viên bi không đánh số là: \(20 + 15 = 35\) (viên).

Xác suất chọn được viên bi không đánh số là:

\(P = \frac{35}{80} = 0,4375 = 43,75%\).

Đáp án đúng là Đúng.

d) Giả sử viên bi lấy ra chưa được đánh số (tổng cộng 35 viên):

- Xác suất là bi đỏ: \(P(\text{Đỏ}|\text{Chưa đánh số}) = \frac{20}{35} = \frac{4}{7}\).

- Xác suất là bi vàng: \(P(\text{Vàng}|\text{Chưa đánh số}) = \frac{15}{35} = \frac{3}{7}\).

Vì \(\frac{4}{7} > \frac{3}{7}\) nên xác suất là bi đỏ cao hơn xác suất là bi vàng. Phát biểu ghi thấp hơn là sai.

Đáp án đúng là Sai.

Ta có: \(\left\{\begin{array}{l}A B \perp B C \\ S A \perp B C\end{array} \Rightarrow B C \perp(S A B) \Rightarrow d(C,(S A B))=B C=2\right.\).

Lại có: \(\left\{\begin{array}{l}B C=(S B C) \cap(A B C) \\ A B \perp B C \\ S A \perp B C\end{array} \Rightarrow[S, B C, A]=S B A=45^{\circ}\right.\)

Khi đó tam giác \(S A B\) vuông cân tại \(A\) suy ra \(S A=A B=1\).

Thể tích của khối chóp \(S \cdot A B C\) là \(V=\frac{1}{3} S_{A B C} \cdot S A=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} B A \cdot B C \cdot S A=\frac{1}{6} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1=\frac{1}{3} \approx 0,33\).

Đáp án đúng là 0,33.

Giả sử An và Bình gặp nhau tại điểm \(C\) sau thời gian \(t\) (giây).

- Quãng đường An đi được: \(AC = v_A \cdot t = 8t\).

- Quãng đường Bình đi được: \(BC = v_B \cdot t\).

- Khoảng cách ban đầu: \(AB = 100\) m.

- Góc tạo bởi hướng đi của An và AB là \(\widehat{BAC} = 60^{\circ}\).

\(BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\widehat{BAC})\)

\((v_B \cdot t)^2 = 100^2 + (8t)^2 - 2 \cdot 100 \cdot 8t \cdot \cos(60^{\circ})\)

\(v_B^2 \cdot t^2 = 10\,000 + 64t^2 - 1\,600t \cdot \frac{1}{2}\)

\(v_B^2 \cdot t^2 = 64t^2 - 800t + 10\,000\)

Để tồn tại \(v_B\), ta cô lập \(v_B^2\):

\(v_B^2 = 64 - \frac{800}{t} + \frac{10\,000}{t^2}\)

Đặt \(x = \frac{1}{t}\) (\(x > 0\)), biểu thức trở thành một hàm số bậc hai:

\(f(x) = 10\,000x^2 - 800x + 64\)

Vận tốc \(v_B\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(f(x)\) đạt giá trị nhỏ nhất. Đây là parabol có đỉnh tại:

\(x = \frac{-(-800)}{2 \cdot 10\,000} = \frac{800}{20\,000} = 0,04\).

Giá trị nhỏ nhất của \(f(x)\) là:

\(f(0,04) = 10\,000 \cdot (0,04)^2 - 800 \cdot 0,04 + 64 = 16 - 32 + 64 = 48\).

Suy ra \(v_{B,min}^2 = 48 \Rightarrow v_{B,min} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \approx 6,93\).

Đáp án đúng là 6,93.

Có hai trường hợp để Lan có lớp học mỗi ngày trong tuần:

Trường hợp 1: Có 2 ngày có 2 lớp học, và 3 ngày còn lại có 1 lớp học.

Số khả năng cho trường hợp 1 là \(C_5^2 \cdot (C_6^2)^2 \cdot (C_6^1)^3\).

(Chọn 2 ngày trong 5 ngày có 2 lớp học, mỗi ngày đó chọn 2 lớp trong số 6 lớp; 3 ngày còn lại mỗi ngày chọn 1 lớp trong 6 lớp → có \((C_6^1)^3\) cách).

Trường hợp 2: Có 1 ngày có 3 lớp học, và 4 ngày còn lại mỗi ngày có 1 lớp học.

Số khả năng cho trường hợp 2 là \(C_5^1 C_6^3 \cdot (C_6^1)^4\).

(Chọn 1 ngày có 3 lớp học trong 5 ngày, chọn 3 lớp trong 6 lớp cho ngày đó; 4 ngày còn lại mỗi ngày chọn 1 lớp → \((C_6^1)^4\) cách).

Vậy xác suất cần tính là \(\frac{C_5^2 \cdot (C_6^2)^2 \cdot (C_6^1)^3 + C_5^1 C_6^3 \cdot (C_6^1)^4}{C_{30}^7} = \frac{114}{377} = \frac{m}{n}\). Suy ra \(m + n = 491\).

Đáp án đúng là 491.

Dựa vào hình vẽ ta có: \(a > 1; b > 1\).

\(\begin{array}{l} \text {Theo đề ta có:} \left\{ \begin{array}{l} d \cap \left(C _ {1}\right) = M \left(\log_ {a} \frac {1}{2}; \frac {1}{2}\right) \\ d \cap O y = H \left(0; \frac {1}{2}\right) \\ d \cap \left(C _ {2}\right) = N \left(b ^ {2}; \frac {1}{2}\right) \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} H N = b ^ {2} = \sqrt {b} \\ N P = \frac {1}{2} \end{array} \right. \\ H \text{ là trung điểm của } MN \Leftrightarrow x _ {M} + x _ {N} = 2 x _ {H} \text{ (do } M, H, N \text{ nằm trên } d \text{).} \\ \Leftrightarrow \log_ {a} \frac {1}{2} + b ^ {2} = 0 \Leftrightarrow \sqrt {b} = \log_ {a} 2 \Leftrightarrow \frac {1}{\sqrt {b}} = \log_ {2} a \Leftrightarrow a = 2 ^ {\frac {1}{\sqrt {b}}} (1). \\ \end{array}\).

Diện tích hình chữ nhật \(MNPQ\) là \(S_{MNPQ} = MN.NP = 2MH.NP = \sqrt{b}\).

Theo đề \(S_{MNPQ} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \sqrt{b} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow b = \frac{9}{4} \Rightarrow a = 2\sqrt{\frac{1}{4}} = \sqrt[3]{4}\).

Ông An xảy hồ bơi có: chiều dài \(m = 4b = 9\) (m); chiều rộng \(n = a^3 = 4\) (m); độ sâu \(h = 1,6\) (m).

Lượng nước ống An cần bơm đầy hồ là \(V = m.n.h = 9.4.1,5 = 57,6\) (\(m^3\)).

Đáp án đúng là 57,6.