Câu hỏi:

Gọi \(d_1, d_2\) lần lượt là đường chéo lớn và đường chéo nhỏ của hình thoi \((0 < d_2 < d_1)\), khi ấy ta có hệ phương trình sau: \(\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 50^2; \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} = 2400 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} d_1 = 40 \\ d_2 = 30 \end{array} \right.\).

Xét hệ trục tọa độ như hình trên (do tính đối xứng), do đó ta chỉ cần tìm diện tích lớn nhất của \(\frac{1}{4}\) hình elip ở góc phần tư thứ nhất.

Xét phương trình cạnh hình thoi ở góc phần tư thứ nhất là \(y = -\frac{3}{4}x + 30,0 \leq x \leq 4\) và phương trình elip ở góc phần tư thứ nhất là \(y = \sqrt{b^2\left(1 - \frac{x^2}{a^2}\right)}, 0 \leq x \leq|a|\).

Khi ấy ta có đánh giá sau: \(\sqrt{b^2\left(1 - \frac{x^2}{a^2}\right)} \leq -\frac{3}{4}x + 30 \Leftrightarrow b^2\left(1 - \frac{x^2}{a^2}\right) \leq \left(30 - \frac{3}{4}x\right)^2\).

Bất phương trình tương đương với: \(\left(\frac{9}{16} + \frac{b^2}{a^2}\right)x^2 - 45x + 900 - b^2 \geq 0\) ().

() luôn đúng khi và chỉ khi \(\Delta = 45^2 - 4\left(\frac{9}{16} + \frac{b^2}{a^2}\right)\left(900 - b^2\right) \leq 0 \Leftrightarrow 14400 \geq 9a^2 + 16b^2\).

Theo bất đẳng thức Cosi ta có: \(14400 \geq 9a^2 + 16b^2 \geq 24ab \Leftrightarrow ab \leq 600 \rightarrow S_{(E)} \leq 600\pi\).

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l} 9a^2 = 16b^2 \\ 9a^2 + 16b^2 = 14400 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a^2 = 800 \\ b^2 = 450 \end{array} \right. \Rightarrow (E): y = \sqrt{450\left(1 - \frac{x^2}{800}\right)}\).

Vậy thể tích cần tìm là:

\(V = \pi \int_{-20\sqrt{2}}^{20\sqrt{2}} \left(\sqrt{450\left(1 - \frac{x^2}{800}\right)}\right)^2 dx \approx 12000\sqrt{2}\pi \approx 53315\left(cm^3\right) \approx 53,315\left(dm^3\right) \rightarrow \boxed{53,3\left(dm^3\right)}\).

Đáp án đúng là 53,3.