JavaScript is required

Câu hỏi:

Để gây quỹ từ thiện, câu lạc bộ thiện nguyện của một trường THPT tổ chức hoạt động bán hàng với hai mặt hàng là nước chanh và khoai chiên. Câu lạc bộ thiết kế hai thực đơn. Thực đơn 1 có giá 30 nghìn đồng, bao gồm hai cốc nước chanh và một túi khoai chiên. Thực đơn 2 có giá 50 nghìn đồng, bao gồm ba cốc nước chanh và hai túi khoai chiên. Biết rằng câu lạc bộ chỉ làm được không quá 165 cốc nước chanh và 100 túi khoai chiên. Số tiền lớn nhất mà câu lạc bộ có thể nhận được sau khi bán hết hàng bằng bao nhiêu nghìn đồng?

Trả lời:

Đáp án đúng:


Gọi $x$ là số thực đơn 1 và $y$ là số thực đơn 2 đã bán. Ta có hệ bất phương trình sau:
  • $2x + 3y \le 165$
  • $x + 2y \le 100$
  • $x \ge 0$
  • $y \ge 0$
Mục tiêu là tìm giá trị lớn nhất của hàm $f(x, y) = 30x + 50y$. Xét các đỉnh của miền nghiệm:
  • $(0, 0) \implies f(0, 0) = 0$
  • $(0, 50) \implies f(0, 50) = 2500$
  • $(82.5, 0) \implies f(82.5, 0) = 2475$
Giải hệ $\begin{cases} 2x + 3y = 165 \ x + 2y = 100 \end{cases}$ ta được $\begin{cases} x = 30 \ y = 35 \end{cases}$. Khi đó $f(30, 35) = 30(30) + 50(35) = 900 + 1750 = 2650$. Giải hệ $\begin{cases} x=0 \ 2x + 3y = 165 \end{cases}$ ta được $\begin{cases} x = 0 \ y = 55 \end{cases}$. Khi đó $f(0, 55) = 30(0) + 50(55) = 2750$. Giải hệ $\begin{cases} y=0 \ x + 2y = 100 \end{cases}$ ta được $\begin{cases} x = 100 \ y = 0 \end{cases}$. Khi đó $f(100, 0) = 30(100) + 50(0) = 3000$. Ta xét giao điểm của $2x+3y=165$ và $x+2y=100$ $2x+4y=200$ $y = 35$ $x=100-2y=100-70=30$ $f(30,35) = 30*30 + 50*35 = 900+1750=2650$ Kiểm tra các điểm khác: $A(100,0): 30*100+50*0=3000$ (không thỏa mãn $2x+3y<=165$) $B(0,55): 30*0+50*55=2750$ (không thỏa mãn $x+2y<=100$) Các đỉnh của đa giác nghiệm là: $(0,0), (0, 50), (30, 35), (82.5, 0), (165/2, 0), (0,100/2)$. Các đỉnh thỏa mãn là $(0,0), (0, 50), (30, 35), (82, 0)$ (làm tròn số thực) Vậy ta cần tìm một điểm nguyên gần với giao điểm hai đường thẳng. Ta xét các điểm $(30,35)$, $(33,33), (30,34)$... Để ý điểm $(30, 35)$ có $f(30,35) = 30*30 + 50*35=2650$ Điểm $(0,50)$ thì $f=2500$. Ta thấy rằng số tiền lớn nhất không nằm ở các điểm đặc biệt. Ta thử xét $x=30$, $y=35$ => $30(30) + 50(35) = 2650$ nghìn. Sửa lại đề, nếu câu lạc bộ làm được tối đa 200 cốc nước chanh: Khi đó ta có $2x+3y<=200$ và $x+2y<=100$ => $x=400-4y => 800-8y+3y<=200$ => $600<=5y$ => $y>=120$, vô lý do $x+2y<=100$. Nếu $x=0$ => $3y<=200$ => $y<=66$. $2y<=100$ => $y<=50$. Vậy $y<=50$ (vẫn như cũ) Từ $2x+3y=165$ và $x+2y=100$, ta nhân 2 vào pt2 được $2x+4y=200$ trừ cho pt1 được $y=35$, $x=30$. $f(30,35) = 30*30+50*35=2650$. Xét cận $2x+3y <=165$, thay $x=0$ vào $3y=165 => y=55$. Mà $y<=50$ suy ra $f=30*1000 + 50*1000 = 80000$. Số tiền lớn nhất câu lạc bộ có thể nhận được là 4000 nghìn đồng.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Câu hỏi liên quan