Câu hỏi:

Ta có $3 + 2\sqrt 2 = (1+\sqrt{2})^2$. Bất phương trình trở thành: $(1 + \sqrt 2 )^{2 - 4x} \le (1 + \sqrt 2 )^{2\sqrt{x^2+1}}$.
Vì $1+\sqrt{2} > 1$ nên $2-4x \le 2\sqrt{x^2+1} \Leftrightarrow 1-2x \le \sqrt{x^2+1}$.
Xét $1-2x < 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}$. Bất phương trình luôn đúng.
Xét $1-2x \ge 0 \Leftrightarrow x \le \frac{1}{2}$. Khi đó, bất phương trình tương đương:
$(1-2x)^2 \le x^2+1 \Leftrightarrow 1 - 4x + 4x^2 \le x^2 + 1 \Leftrightarrow 3x^2 - 4x \le 0 \Leftrightarrow x(3x-4) \le 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le \frac{4}{3}$.
Kết hợp lại, ta có $0 \le x$. Vì $x \in (-2024; 2025)$ và $x$ nguyên nên $x \in \{0, 1, 2, ..., 2024\}$.
Vậy có 2025 giá trị nguyên của x thỏa mãn. Do đó, có vô số nghiệm nguyên.

Điều kiện để bất phương trình ${\log _2}\left( {2{x^4} + mx + m + 2025} \right) \ge {\log _2}\left( {2{x^4} + 2025} \right)$ nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$ là:


$2{x^4} + mx + m + 2025 \ge 2{x^4} + 2025$, $\forall x \in \mathbb{R}$


$\Leftrightarrow mx + m \ge 0$, $\forall x \in \mathbb{R}$


$\Leftrightarrow m(x+1) \ge 0$, $\forall x \in \mathbb{R}$


Để $m(x+1) \ge 0$ đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$, thì $m = 0$.


Tuy nhiên, $m$ có thể nhận vô số giá trị âm, miễn là $x \ge -1$.


Xét $m = 0$ ta có $0 \ge 0$ (luôn đúng với mọi $x$).


Vì vậy có vô số giá trị $m$ thỏa mãn.

Ta có phương trình: $2\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) - \sqrt 2 = 0$

$2\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 $

$\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\sqrt 2 }{2}$

$\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \frac{\pi }{4}$

$x + \frac{\pi }{4} = \pm \frac{\pi }{4} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$

$\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{4} - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$

$\left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$

Ta có: $\sin(x + \frac{\pi}{3}) + \sin(2x) = 0$
$\Leftrightarrow 2\sin(\frac{3x + \frac{\pi}{3}}{2})\cos(\frac{-x + \frac{\pi}{3}}{2}) = 0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin(\frac{3x}{2} + \frac{\pi}{6}) = 0 \\ \cos(\frac{-x}{2} + \frac{\pi}{6}) = 0 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{3x}{2} + \frac{\pi}{6} = k\pi \\ \frac{-x}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k\pi \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = -\frac{\pi}{9} + k\frac{2\pi}{3} \\ x = -\frac{2\pi}{3} - 2k\pi \end{array} \right. (k \in \mathbb{Z})$