Câu hỏi:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $x$ thuộc khoảng $\left( { - 2024;2025} \right)$ thỏa mãn bất phương trình ${\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^{2 - 4x}} \le {\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)^{\sqrt {{x^2} + 1} }}$?

Trả lời:

Đáp án đúng:

Ta có $3 + 2\sqrt 2 = (1+\sqrt{2})^2$. Bất phương trình trở thành: $(1 + \sqrt 2 )^{2 - 4x} \le (1 + \sqrt 2 )^{2\sqrt{x^2+1}}$.
Vì $1+\sqrt{2} > 1$ nên $2-4x \le 2\sqrt{x^2+1} \Leftrightarrow 1-2x \le \sqrt{x^2+1}$.
Xét $1-2x < 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}$. Bất phương trình luôn đúng.
Xét $1-2x \ge 0 \Leftrightarrow x \le \frac{1}{2}$. Khi đó, bất phương trình tương đương:
$(1-2x)^2 \le x^2+1 \Leftrightarrow 1 - 4x + 4x^2 \le x^2 + 1 \Leftrightarrow 3x^2 - 4x \le 0 \Leftrightarrow x(3x-4) \le 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le \frac{4}{3}$.
Kết hợp lại, ta có $0 \le x$. Vì $x \in (-2024; 2025)$ và $x$ nguyên nên $x \in \{0, 1, 2, ..., 2024\}$.
Vậy có 2025 giá trị nguyên của x thỏa mãn. Do đó, có vô số nghiệm nguyên.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Luyện đề thi Chủ đề Phương trình và bất phương trình Mũ và Lôgarit - Đề 2

10/09/2025

0 lượt thi

0 / 22

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 22:

Bất phương trình ${\log _2}\left( {2{x^4} + mx + m + 2025} \right) \ge {\log _2}\left( {2{x^4} + 2025} \right)$ nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$ thì có bao nhiêu giá trị của tham số $m$ thỏa mãn?

Lời giải:

Đáp án đúng:

Điều kiện để bất phương trình ${\log _2}\left( {2{x^4} + mx + m + 2025} \right) \ge {\log _2}\left( {2{x^4} + 2025} \right)$ nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$ là:

$2{x^4} + mx + m + 2025 \ge 2{x^4} + 2025$, $\forall x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow mx + m \ge 0$, $\forall x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow m(x+1) \ge 0$, $\forall x \in \mathbb{R}$

Để $m(x+1) \ge 0$ đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$, thì $m = 0$.

Tuy nhiên, $m$ có thể nhận vô số giá trị âm, miễn là $x \ge -1$.

Xét $m = 0$ ta có $0 \ge 0$ (luôn đúng với mọi $x$).

Vì vậy có vô số giá trị $m$ thỏa mãn.

Câu 1:

PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Tất cả các nghiệm của phương trình $2\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) - \sqrt 2 = 0$ là

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có phương trình: $2\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) - \sqrt 2 = 0$

$2\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 $

$\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\sqrt 2 }{2}$

$\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \frac{\pi }{4}$

$x + \frac{\pi }{4} = \pm \frac{\pi }{4} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$

$\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{4} - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$

$\left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}$

Câu 2:

Giải phương trình ${\sin ^2}x - {\sin ^2}x \cdot {\cos ^2}x = 1$ ta được

Lời giải:

Đáp án đúng: a

Câu 3:

Nghiệm của phương trình \[\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + \sin 2x = 0\] là

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có: $\sin(x + \frac{\pi}{3}) + \sin(2x) = 0$
$\Leftrightarrow 2\sin(\frac{3x + \frac{\pi}{3}}{2})\cos(\frac{-x + \frac{\pi}{3}}{2}) = 0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin(\frac{3x}{2} + \frac{\pi}{6}) = 0 \\ \cos(\frac{-x}{2} + \frac{\pi}{6}) = 0 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{3x}{2} + \frac{\pi}{6} = k\pi \\ \frac{-x}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k\pi \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = -\frac{\pi}{9} + k\frac{2\pi}{3} \\ x = -\frac{2\pi}{3} - 2k\pi \end{array} \right. (k \in \mathbb{Z})$

Câu 4:

Vận tốc của con lắc đơn \[v\,\,\left( {{\rm{cm/s}}} \right)\]được cho bởi công thức \[v\left( t \right) = 3\sin \left( {2t - \frac{\pi }{6}} \right)\]. Tại thời điểm nào dưới đây thì vận tốc của con lắc đơn bằng \[3\;{\rm{cm/s}}\]?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta cần giải phương trình $v(t) = 3$, tức là:
$3\sin \left( {2t - \frac{\pi }{6}} \right) = 3$
$\Leftrightarrow \sin \left( {2t - \frac{\pi }{6}} \right) = 1$
$\Leftrightarrow 2t - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}$
$\Leftrightarrow 2t = \frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{6} + k2\pi$
$\Leftrightarrow 2t = \frac{{4\pi }}{6} + k2\pi$
$\Leftrightarrow t = \frac{{2\pi }}{6} + k\pi = \frac{\pi }{3} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$
Với $k = 1$, ta có $t = \frac{\pi }{3} + \pi = \frac{{4\pi }}{3}$.

Câu 5:

Nghiệm của phương trình ${2^x} = 5$ là

Lời giải: