Câu hỏi:

Ta có phương trình $\sqrt{x^2-5x+1} = \sqrt{x-7}$.
Điều kiện xác định: $x-7 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 7$.
Bình phương hai vế, ta được: $x^2 - 5x + 1 = x - 7 \Leftrightarrow x^2 - 6x + 8 = 0 \Leftrightarrow (x-2)(x-4) = 0$.
Suy ra $x = 2$ hoặc $x = 4$.
Kiểm tra điều kiện $x \ge 7$, thấy cả hai nghiệm $x=2$ và $x=4$ đều không thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Gọi $x$ (nghìn đồng) là giá vé của một người.
Số tiền giảm so với giá vé ban đầu là: $40 - x$ (nghìn đồng).
Số người tăng thêm là: $\frac{40-x}{10} \times 100 = (40-x) \times 10$ người.
Tổng số người đến xem phim là: $300 + (40-x) \times 10 = 300 + 400 - 10x = 700 - 10x$ người.
Doanh thu mỗi ngày là: $R(x) = x(700 - 10x) = 700x - 10x^2$ (nghìn đồng).
Vậy $R(x) = -10x^2 + 700x$.

Câu hỏi này không đưa ra các lựa chọn, vì vậy không thể chọn đáp án đúng. Đây là một bài toán tối ưu hóa, cần tìm hàm doanh thu theo giá vé, sau đó tìm giá trị lớn nhất của hàm số này.

Đây là một câu hỏi yêu cầu giải phương trình. Để giải phương trình $x - 2 + 3\sqrt{x^2 - 2x - 3} = 7$, ta thực hiện các bước sau: 1. Đặt điều kiện để biểu thức dưới căn có nghĩa: $x^2 - 2x - 3 \ge 0$. Giải bất phương trình này ta được $x \le -1$ hoặc $x \ge 3$. 2. Chuyển vế và bình phương hai vế (sau khi đã cô lập căn thức): $3\sqrt{x^2 - 2x - 3} = 9 - x$ (điều kiện $9-x \ge 0$ hay $x \le 9$). 3. Bình phương hai vế: $9(x^2 - 2x - 3) = (9 - x)^2 \Leftrightarrow 9x^2 - 18x - 27 = x^2 - 18x + 81 \Leftrightarrow 8x^2 = 108 \Leftrightarrow x^2 = \frac{27}{2} \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{\frac{27}{2}} = \pm \frac{3\sqrt{6}}{2}$. 4. Kiểm tra điều kiện và nghiệm: * $x = \frac{3\sqrt{6}}{2} \approx 3.67$. Thỏa mãn $x \ge 3$ và $x \le 9$. Thay vào phương trình ban đầu, ta thấy nó là nghiệm đúng. * $x = -\frac{3\sqrt{6}}{2} \approx -3.67$. Thỏa mãn $x \le -1$. Thay vào phương trình ban đầu, ta thấy nó không là nghiệm. Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{3\sqrt{6}}{2}$.

Để $f(x) = x^2 - 2(m + 3)x - 4m + 1 > 0$ với mọi $x$ thì phương trình $f(x) = 0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép và $a > 0$. Vì $a = 1 > 0$ nên ta chỉ cần xét điều kiện $\Delta' < 0$. Ta có $\Delta' = (m + 3)^2 - (-4m + 1) = m^2 + 6m + 9 + 4m - 1 = m^2 + 10m + 8$. $\Delta' < 0 \Leftrightarrow m^2 + 10m + 8 < 0$. Giải bất phương trình $m^2 + 10m + 8 < 0$, ta tìm nghiệm của phương trình $m^2 + 10m + 8 = 0$. $m = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 32}}{2} = \frac{-10 \pm \sqrt{68}}{2} = \frac{-10 \pm 2\sqrt{17}}{2} = -5 \pm \sqrt{17}$. Do đó, nghiệm của bất phương trình là $-5 - \sqrt{17} < m < -5 + \sqrt{17}$. Ta có lỗi ở đây, cần xem lại đề bài. Để $f(x)>0$ với mọi $x$ thì $\Delta' < 0$ $\Delta' = (m+3)^2 - (-4m+1) = m^2 + 6m + 9 + 4m -1 = m^2 + 10m + 8 < 0$ $m = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 32}}{2} = \frac{-10 \pm \sqrt{68}}{2} = -5 \pm \sqrt{17}$ $\Rightarrow -5 - \sqrt{17} < m < -5 + \sqrt{17}$ . Đáp án này không có trong các lựa chọn. Nếu đề bài là $f(x) > 0$ với mọi $x$ thì $f(x)$ không có nghiệm thực, tức là $\Delta < 0$. $f(x) = x^2 - 2(m+3)x - 4m + 1 > 0$ $\Delta' = (m+3)^2 - 1(-4m+1) = m^2 + 6m + 9 + 4m - 1 = m^2 + 10m + 8$ Giải $m^2 + 10m + 8 < 0$. $m = \frac{-10 \pm \sqrt{100-32}}{2} = -5 \pm \sqrt{17}$. $-5 - \sqrt{17} < m < -5 + \sqrt{17}$. Có lẽ đề bị sai.