Câu hỏi:

Câu hỏi này không đưa ra các lựa chọn, vì vậy không thể chọn đáp án đúng. Đây là một bài toán tối ưu hóa, cần tìm hàm doanh thu theo giá vé, sau đó tìm giá trị lớn nhất của hàm số này.

Đây là một câu hỏi yêu cầu giải phương trình. Để giải phương trình $x - 2 + 3\sqrt{x^2 - 2x - 3} = 7$, ta thực hiện các bước sau: 1. Đặt điều kiện để biểu thức dưới căn có nghĩa: $x^2 - 2x - 3 \ge 0$. Giải bất phương trình này ta được $x \le -1$ hoặc $x \ge 3$. 2. Chuyển vế và bình phương hai vế (sau khi đã cô lập căn thức): $3\sqrt{x^2 - 2x - 3} = 9 - x$ (điều kiện $9-x \ge 0$ hay $x \le 9$). 3. Bình phương hai vế: $9(x^2 - 2x - 3) = (9 - x)^2 \Leftrightarrow 9x^2 - 18x - 27 = x^2 - 18x + 81 \Leftrightarrow 8x^2 = 108 \Leftrightarrow x^2 = \frac{27}{2} \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{\frac{27}{2}} = \pm \frac{3\sqrt{6}}{2}$. 4. Kiểm tra điều kiện và nghiệm: * $x = \frac{3\sqrt{6}}{2} \approx 3.67$. Thỏa mãn $x \ge 3$ và $x \le 9$. Thay vào phương trình ban đầu, ta thấy nó là nghiệm đúng. * $x = -\frac{3\sqrt{6}}{2} \approx -3.67$. Thỏa mãn $x \le -1$. Thay vào phương trình ban đầu, ta thấy nó không là nghiệm. Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{3\sqrt{6}}{2}$.

Để $f(x) = x^2 - 2(m + 3)x - 4m + 1 > 0$ với mọi $x$ thì phương trình $f(x) = 0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép và $a > 0$. Vì $a = 1 > 0$ nên ta chỉ cần xét điều kiện $\Delta' < 0$. Ta có $\Delta' = (m + 3)^2 - (-4m + 1) = m^2 + 6m + 9 + 4m - 1 = m^2 + 10m + 8$. $\Delta' < 0 \Leftrightarrow m^2 + 10m + 8 < 0$. Giải bất phương trình $m^2 + 10m + 8 < 0$, ta tìm nghiệm của phương trình $m^2 + 10m + 8 = 0$. $m = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 32}}{2} = \frac{-10 \pm \sqrt{68}}{2} = \frac{-10 \pm 2\sqrt{17}}{2} = -5 \pm \sqrt{17}$. Do đó, nghiệm của bất phương trình là $-5 - \sqrt{17} < m < -5 + \sqrt{17}$. Ta có lỗi ở đây, cần xem lại đề bài. Để $f(x)>0$ với mọi $x$ thì $\Delta' < 0$ $\Delta' = (m+3)^2 - (-4m+1) = m^2 + 6m + 9 + 4m -1 = m^2 + 10m + 8 < 0$ $m = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 32}}{2} = \frac{-10 \pm \sqrt{68}}{2} = -5 \pm \sqrt{17}$ $\Rightarrow -5 - \sqrt{17} < m < -5 + \sqrt{17}$ . Đáp án này không có trong các lựa chọn. Nếu đề bài là $f(x) > 0$ với mọi $x$ thì $f(x)$ không có nghiệm thực, tức là $\Delta < 0$. $f(x) = x^2 - 2(m+3)x - 4m + 1 > 0$ $\Delta' = (m+3)^2 - 1(-4m+1) = m^2 + 6m + 9 + 4m - 1 = m^2 + 10m + 8$ Giải $m^2 + 10m + 8 < 0$. $m = \frac{-10 \pm \sqrt{100-32}}{2} = -5 \pm \sqrt{17}$. $-5 - \sqrt{17} < m < -5 + \sqrt{17}$. Có lẽ đề bị sai.

Vì $\overrightarrow{IA} = 2\overrightarrow{IB}$ nên $\overrightarrow{IA} = 2(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AB})$, suy ra $\overrightarrow{IA} = -2\overrightarrow{AB}$.
Vì $3\overrightarrow{JA} + 2\overrightarrow{JC} = \overrightarrow{0}$ nên $3\overrightarrow{JA} + 2(\overrightarrow{JA} + \overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{0}$, suy ra $5\overrightarrow{JA} = -2\overrightarrow{AC}$, hay $\overrightarrow{JA} = -\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$.
Ta có $\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AJ} = -2\overrightarrow{AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$.

Câu hỏi này yêu cầu chứng minh một định lý hình học. Để chứng minh đường thẳng IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC, cần có thêm thông tin về vị trí của các điểm I và J liên quan đến tam giác ABC. Ví dụ, I và J có thể là trung điểm của các cạnh, giao điểm của các đường phân giác, đường cao,... Nếu không có thông tin này, không thể chứng minh được mệnh đề trên.