Câu hỏi:

Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a, AH là đường cao. Tính $\vec{A B} . \vec{A H}$

A. $\frac{3}{4} a^{2}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{2} a^{2}$

C. $\frac{1}{2} a^{2}$

D. $a^{2}$

Trả lời:

Đáp án đúng: D

Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH} = |\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AH}|.cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AH})$
Vì tam giác ABC đều cạnh a, AH là đường cao nên:

$|\overrightarrow{AB}| = a$
$AH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
Góc giữa AB và AH là 30 độ, do đó $cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AH}) = cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Do đó: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH} = a.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2} = a^2.\frac{3}{4}$

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Đề thi kiểm tra cuối học kì 1 môn Toán lớp 10 - Cánh Diều - Đề 1

18/09/2025

0 lượt thi

0 / 36

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 29:

Cho tứ giác ABCD, có I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Ta có $\vec{IJ} = a \vec{A C} + b \vec{B D}$ . Khi đó a – b bằng

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có: $\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{AJ} - \overrightarrow{AI}$
Vì J là trung điểm của CD nên $\overrightarrow{AJ} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD})$
Vì I là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$
Do đó: $\overrightarrow{IJ} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}) - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}) = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BD}$
Vậy $a = \frac{1}{2}$ và $b = \frac{1}{2}$.
Khi đó $a - b = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$.

Câu 30:

Cho phương trình: $\sqrt{x^{2} - 5 x + 1} = \sqrt{x - 7}$ . Số nghiệm của phương trình là

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có phương trình $\sqrt{x^2-5x+1} = \sqrt{x-7}$.
Điều kiện xác định: $x-7 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 7$.
Bình phương hai vế, ta được: $x^2 - 5x + 1 = x - 7 \Leftrightarrow x^2 - 6x + 8 = 0 \Leftrightarrow (x-2)(x-4) = 0$.
Suy ra $x = 2$ hoặc $x = 4$.
Kiểm tra điều kiện $x \ge 7$, thấy cả hai nghiệm $x=2$ và $x=4$ đều không thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Câu 31:

Một rạp chiếu phim có sức chứa 1 000 người. Với giá vé là 40 000 đồng, trung bình sẽ có khoảng 300 người đến rạp xem phim mỗi ngày. Để tăng số lượng vé bán ra, rạp chiếu phim đã khảo sát thị trường và thấy rằng giá vé cứ giảm 10 000 đồng thì sẽ có thêm 100 người đến rạp mỗi ngày.

a) Tìm công thức của hàm số R(x) mô tả doanh thu từ tiền bán vé mỗi ngày của rạp chiếu phim khi giá vé là x nghìn đồng.

Lời giải:

Đáp án đúng:

Gọi $x$ (nghìn đồng) là giá vé của một người.
Số tiền giảm so với giá vé ban đầu là: $40 - x$ (nghìn đồng).
Số người tăng thêm là: $\frac{40-x}{10} \times 100 = (40-x) \times 10$ người.
Tổng số người đến xem phim là: $300 + (40-x) \times 10 = 300 + 400 - 10x = 700 - 10x$ người.
Doanh thu mỗi ngày là: $R(x) = x(700 - 10x) = 700x - 10x^2$ (nghìn đồng).
Vậy $R(x) = -10x^2 + 700x$.

Câu 32:

b) Tìm mức giá vé để doanh thu từ tiền bán vé mỗi ngày của rạp là lớn nhất.

Lời giải:

Đáp án đúng:

Câu hỏi này không đưa ra các lựa chọn, vì vậy không thể chọn đáp án đúng. Đây là một bài toán tối ưu hóa, cần tìm hàm doanh thu theo giá vé, sau đó tìm giá trị lớn nhất của hàm số này.

Câu 33:

a) Giải phương trình: $x - 2 + 3 \sqrt{x^{2} - 2 x - 3} = 7$ .

Lời giải:

Đáp án đúng:

Đây là một câu hỏi yêu cầu giải phương trình. Để giải phương trình $x - 2 + 3\sqrt{x^2 - 2x - 3} = 7$, ta thực hiện các bước sau: 1. Đặt điều kiện để biểu thức dưới căn có nghĩa: $x^2 - 2x - 3 \ge 0$. Giải bất phương trình này ta được $x \le -1$ hoặc $x \ge 3$. 2. Chuyển vế và bình phương hai vế (sau khi đã cô lập căn thức): $3\sqrt{x^2 - 2x - 3} = 9 - x$ (điều kiện $9-x \ge 0$ hay $x \le 9$). 3. Bình phương hai vế: $9(x^2 - 2x - 3) = (9 - x)^2 \Leftrightarrow 9x^2 - 18x - 27 = x^2 - 18x + 81 \Leftrightarrow 8x^2 = 108 \Leftrightarrow x^2 = \frac{27}{2} \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{\frac{27}{2}} = \pm \frac{3\sqrt{6}}{2}$. 4. Kiểm tra điều kiện và nghiệm: * $x = \frac{3\sqrt{6}}{2} \approx 3.67$. Thỏa mãn $x \ge 3$ và $x \le 9$. Thay vào phương trình ban đầu, ta thấy nó là nghiệm đúng. * $x = -\frac{3\sqrt{6}}{2} \approx -3.67$. Thỏa mãn $x \le -1$. Thay vào phương trình ban đầu, ta thấy nó không là nghiệm. Vậy nghiệm của phương trình là $x = \frac{3\sqrt{6}}{2}$.

Câu 34:

b) Tìm m để hàm số f(x) = x² – 2(m + 3)x – 4m + 1 > 0 với mọi số thực x.

Lời giải: