JavaScript is required

Câu hỏi:

Cho số thực \(a\) khác \(0\), xét dãy số gồm các số sau:

\({u_1} = \frac{a}{2} + \frac{2}{a}\,\,;\,\,{u_2} = {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{2}{a}} \right)^2}\,\,;\,\,{u_3} = {\left( {\frac{a}{2}} \right)^3} + {\left( {\frac{2}{a}} \right)^3}\).

Tìm \(a\) sao cho \({u_1}\,;\,{u_2}\,;\,{u_3}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

Trả lời:

Đáp án đúng:


Để $u_1, u_2, u_3$ lập thành một cấp số cộng thì $u_1 + u_3 = 2u_2$.
Ta có: $\frac{a}{2} + \frac{2}{a} + (\frac{a}{2})^3 + (\frac{2}{a})^3 = 2((\frac{a}{2})^2 + (\frac{2}{a})^2)$.
$\Leftrightarrow \frac{a}{2} + \frac{2}{a} + (\frac{a}{2} + \frac{2}{a})((\frac{a}{2})^2 - \frac{a}{2}.\frac{2}{a} + (\frac{2}{a})^2) = 2((\frac{a}{2})^2 + (\frac{2}{a})^2)$.
$\Leftrightarrow \frac{a}{2} + \frac{2}{a} + (\frac{a}{2} + \frac{2}{a})((\frac{a}{2})^2 - 1 + (\frac{2}{a})^2) = 2((\frac{a}{2})^2 + (\frac{2}{a})^2)$.
$\Leftrightarrow (\frac{a}{2} + \frac{2}{a})(1 + (\frac{a}{2})^2 - 1 + (\frac{2}{a})^2) = 2((\frac{a}{2})^2 + (\frac{2}{a})^2)$.
$\Leftrightarrow (\frac{a}{2} + \frac{2}{a})((\frac{a}{2})^2 + (\frac{2}{a})^2) = 2((\frac{a}{2})^2 + (\frac{2}{a})^2)$.
$\Leftrightarrow (\frac{a}{2} + \frac{2}{a} - 2)((\frac{a}{2})^2 + (\frac{2}{a})^2) = 0$.
Vì $(\frac{a}{2})^2 + (\frac{2}{a})^2 > 0$ với mọi $a \neq 0$ nên $\frac{a}{2} + \frac{2}{a} - 2 = 0$.
$\Leftrightarrow a^2 - 4a + 4 = 0 \Leftrightarrow (a-2)^2 = 0 \Leftrightarrow a = 2$.
Vậy $u_1 = 2, u_2 = 2, u_3 = 2$ nên $u_1, u_2, u_3$ là cấp số cộng công sai $d=0$
Tuy nhiên, đáp án này không có trong các lựa chọn. Xét lại, ta có:
$\Leftrightarrow (\frac{a}{2} + \frac{2}{a} - 2)((\frac{a}{2})^2 + (\frac{2}{a})^2) = 0$.
Trường hợp $(\frac{a}{2})^2 + (\frac{2}{a})^2 = 0$ thì $(\frac{a}{2})^2 = -(\frac{2}{a})^2$, điều này không thể xảy ra với a thực.
Vậy ta có a=2.
Kiểm tra lại nếu $a = \pm 2$ thì $u_1 = \pm 2, u_2 = 2, u_3 = \pm 2 $ nên $u_1, u_2, u_3$ lập thành cấp số cộng.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Câu hỏi liên quan