Câu hỏi:
Cho số thực \(a\) khác \(0\), xét dãy số gồm các số sau:
\({u_1} = \frac{a}{2} + \frac{2}{a}\,\,;\,\,{u_2} = {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{2}{a}} \right)^2}\,\,;\,\,{u_3} = {\left( {\frac{a}{2}} \right)^3} + {\left( {\frac{2}{a}} \right)^3}\).
Tìm \(a\) sao cho \({u_1}\,;\,{u_2}\,;\,{u_3}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
Trả lời:
Đáp án đúng:
Để $u_1, u_2, u_3$ lập thành một cấp số cộng thì $u_1 + u_3 = 2u_2$.
Ta có: $\frac{a}{2} + \frac{2}{a} + (\frac{a}{2})^3 + (\frac{2}{a})^3 = 2((\frac{a}{2})^2 + (\frac{2}{a})^2)$.
$\Leftrightarrow \frac{a}{2} + \frac{2}{a} + (\frac{a}{2} + \frac{2}{a})((\frac{a}{2})^2 - \frac{a}{2}.\frac{2}{a} + (\frac{2}{a})^2) = 2((\frac{a}{2})^2 + (\frac{2}{a})^2)$.
$\Leftrightarrow \frac{a}{2} + \frac{2}{a} + (\frac{a}{2} + \frac{2}{a})((\frac{a}{2})^2 - 1 + (\frac{2}{a})^2) = 2((\frac{a}{2})^2 + (\frac{2}{a})^2)$.
$\Leftrightarrow (\frac{a}{2} + \frac{2}{a})(1 + (\frac{a}{2})^2 - 1 + (\frac{2}{a})^2) = 2((\frac{a}{2})^2 + (\frac{2}{a})^2)$.
$\Leftrightarrow (\frac{a}{2} + \frac{2}{a})((\frac{a}{2})^2 + (\frac{2}{a})^2) = 2((\frac{a}{2})^2 + (\frac{2}{a})^2)$.
$\Leftrightarrow (\frac{a}{2} + \frac{2}{a} - 2)((\frac{a}{2})^2 + (\frac{2}{a})^2) = 0$.
Vì $(\frac{a}{2})^2 + (\frac{2}{a})^2 > 0$ với mọi $a \neq 0$ nên $\frac{a}{2} + \frac{2}{a} - 2 = 0$.
$\Leftrightarrow a^2 - 4a + 4 = 0 \Leftrightarrow (a-2)^2 = 0 \Leftrightarrow a = 2$.
Vậy $u_1 = 2, u_2 = 2, u_3 = 2$ nên $u_1, u_2, u_3$ là cấp số cộng công sai $d=0$
Tuy nhiên, đáp án này không có trong các lựa chọn. Xét lại, ta có:
$\Leftrightarrow (\frac{a}{2} + \frac{2}{a} - 2)((\frac{a}{2})^2 + (\frac{2}{a})^2) = 0$.
Trường hợp $(\frac{a}{2})^2 + (\frac{2}{a})^2 = 0$ thì $(\frac{a}{2})^2 = -(\frac{2}{a})^2$, điều này không thể xảy ra với a thực.
Vậy ta có a=2.
Kiểm tra lại nếu $a = \pm 2$ thì $u_1 = \pm 2, u_2 = 2, u_3 = \pm 2 $ nên $u_1, u_2, u_3$ lập thành cấp số cộng.
Ta có: $\frac{a}{2} + \frac{2}{a} + (\frac{a}{2})^3 + (\frac{2}{a})^3 = 2((\frac{a}{2})^2 + (\frac{2}{a})^2)$.
$\Leftrightarrow \frac{a}{2} + \frac{2}{a} + (\frac{a}{2} + \frac{2}{a})((\frac{a}{2})^2 - \frac{a}{2}.\frac{2}{a} + (\frac{2}{a})^2) = 2((\frac{a}{2})^2 + (\frac{2}{a})^2)$.
$\Leftrightarrow \frac{a}{2} + \frac{2}{a} + (\frac{a}{2} + \frac{2}{a})((\frac{a}{2})^2 - 1 + (\frac{2}{a})^2) = 2((\frac{a}{2})^2 + (\frac{2}{a})^2)$.
$\Leftrightarrow (\frac{a}{2} + \frac{2}{a})(1 + (\frac{a}{2})^2 - 1 + (\frac{2}{a})^2) = 2((\frac{a}{2})^2 + (\frac{2}{a})^2)$.
$\Leftrightarrow (\frac{a}{2} + \frac{2}{a})((\frac{a}{2})^2 + (\frac{2}{a})^2) = 2((\frac{a}{2})^2 + (\frac{2}{a})^2)$.
$\Leftrightarrow (\frac{a}{2} + \frac{2}{a} - 2)((\frac{a}{2})^2 + (\frac{2}{a})^2) = 0$.
Vì $(\frac{a}{2})^2 + (\frac{2}{a})^2 > 0$ với mọi $a \neq 0$ nên $\frac{a}{2} + \frac{2}{a} - 2 = 0$.
$\Leftrightarrow a^2 - 4a + 4 = 0 \Leftrightarrow (a-2)^2 = 0 \Leftrightarrow a = 2$.
Vậy $u_1 = 2, u_2 = 2, u_3 = 2$ nên $u_1, u_2, u_3$ là cấp số cộng công sai $d=0$
Tuy nhiên, đáp án này không có trong các lựa chọn. Xét lại, ta có:
$\Leftrightarrow (\frac{a}{2} + \frac{2}{a} - 2)((\frac{a}{2})^2 + (\frac{2}{a})^2) = 0$.
Trường hợp $(\frac{a}{2})^2 + (\frac{2}{a})^2 = 0$ thì $(\frac{a}{2})^2 = -(\frac{2}{a})^2$, điều này không thể xảy ra với a thực.
Vậy ta có a=2.
Kiểm tra lại nếu $a = \pm 2$ thì $u_1 = \pm 2, u_2 = 2, u_3 = \pm 2 $ nên $u_1, u_2, u_3$ lập thành cấp số cộng.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
Câu hỏi liên quan

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Giáo Dục Kinh Tế Và Pháp Luật Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Lịch Sử Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Công Nghệ Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Hóa Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Sinh Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
