JavaScript is required

Câu hỏi:

Cho phương trình \({2^{{x^2} - 2x}} = {m^2} - m + 1\).

a) Khi \(m = 1\) thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

b) Phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số \(m\).

c) Khi \(m = 2\) thì phương trình có 2 nghiệm \({x_1},{\rm{ }}{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} \cdot {x_2} = {\log _2}3\).

d) Có tất cả \(6\) giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \({2^{{x^2} - 2x}} = {m^2} - m + 1\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { - 1\,;\,2} \right]\).

Trả lời:

Đáp án đúng:


Ta xét từng đáp án:
  • Đáp án a): Khi $m=1$ thì phương trình trở thành $2^{x^2-2x} = 1 \Leftrightarrow x^2-2x=0 \Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=2$. Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt, nên a) đúng.
  • Đáp án b): Ta có $x^2 - 2x = (x-1)^2 -1 \ge -1$, nên $2^{x^2-2x} \ge 2^{-1} = \frac{1}{2}$. Để phương trình có nghiệm thì $m^2 - m + 1 \ge \frac{1}{2} \Leftrightarrow m^2 - m + \frac{1}{2} \ge 0 \Leftrightarrow (m-\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} > 0$. Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi $m$, nên b) đúng.
  • Đáp án c): Khi $m=2$ thì phương trình trở thành $2^{x^2-2x} = 3 \Leftrightarrow x^2-2x = \log_2 3 \Leftrightarrow x^2-2x - \log_2 3 = 0$. Khi đó, theo định lý Vi-et, $x_1 \cdot x_2 = -\log_2 3 \neq \log_2 3$. Vậy c) sai.
  • Đáp án d): Để $x \in [-1, 2]$ thì $-1 \le x \le 2$. Xét hàm số $f(x) = x^2 - 2x$ trên đoạn $[-1, 2]$. Ta có $f'(x) = 2x-2$, $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$. Ta có $f(-1) = 3$, $f(2) = 0$, $f(1) = -1$. Vậy $-1 \le f(x) \le 3$. Khi đó $-1 \le x^2-2x \le 3 \Leftrightarrow 2^{-1} \le 2^{x^2-2x} \le 2^3 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le m^2 - m + 1 \le 8 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le m^2 - m + 1$ và $m^2 - m + 1 \le 8$.
    • $m^2 - m + 1 \ge \frac{1}{2} \Leftrightarrow m^2 - m + \frac{1}{2} \ge 0$ (luôn đúng).
    • $m^2 - m + 1 \le 8 \Leftrightarrow m^2 - m - 7 \le 0$. Giải bất phương trình này ta được $\frac{1 - \sqrt{29}}{2} \le m \le \frac{1 + \sqrt{29}}{2}$. Vì $\sqrt{29} \approx 5.4$ nên $-2.2 \le m \le 3.2$. Các giá trị nguyên của $m$ là $-2, -1, 0, 1, 2, 3$. Vậy có 6 giá trị, nên d) đúng.
Vậy đáp án đúng là a) đúng, b) đúng, c) sai, d) đúng.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Câu hỏi liên quan