Câu hỏi:

Ta có độ dài vectơ $\overrightarrow{BC}$ là $|\overrightarrow{BC}| = BC = 4$.
Vậy, độ dài vectơ $-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ là $|-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}| = |-\frac{1}{2}|.|\overrightarrow{BC}| = \frac{1}{2} . 4 = 2$.

Ta có: $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN}$
Mà $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{DN} = -\overrightarrow{CN} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{CD} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$
Do đó, $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{BC} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} - \frac{3}{2}\overrightarrow{AB}$
Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$ hay $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$
Mặt khác, $AM = \frac{1}{3}AB$ và $CN = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}AB$
$\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

Ta có $\overrightarrow{AB} = (1-2; 10-1) = (-1; 9)$ và $\overrightarrow{OC} = (m; 2m-17)$.
Để AB vuông góc với OC thì $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{OC} = 0$.
Tức là $-1 \cdot m + 9 \cdot (2m-17) = 0$.
$\Leftrightarrow -m + 18m - 153 = 0 \Leftrightarrow 17m = 153 \Leftrightarrow m = \frac{153}{17} = 9$.
Vậy m = 9.

Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $C$ xuống mặt đất, $I$ là chân đường vuông góc hạ từ $C$ xuống đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với mặt đất, $K$ là chân đường vuông góc hạ từ $C$ xuống đường thẳng đi qua $B$ và vuông góc với mặt đất. Ta có $\widehat{CAI} = 30^0$ và $\widehat{CBK} = 15^030'$. Đặt $AI = x$, khi đó $CI = x\cot 30^0 = x\sqrt{3}$. Ta có $BK = AI + AB = x+70$, suy ra $CK = (x+70)\cot 15^030'$. Vì $CI = CK$ nên $x\sqrt{3} = (x+70)\cot 15^030' \Rightarrow x = \frac{70\cot 15^030'}{\sqrt{3} - \cot 15^030'} \approx 102.45$. Vậy độ cao của ngọn núi so với mặt đất là $CH = CI + IH = x\sqrt{3} + AI + AB*sin(0) = \approx 102.45*sqrt(3) + 0 \approx 177.36 + 70 = 172.45 m$. Đáp án gần đúng nhất là 172.45m

Gọi $A(0; \frac{a\sqrt{3}}{2})$, $B(-\frac{a}{2};0)$, $C(\frac{a}{2};0)$.
Khi đó $N(-\frac{a}{6};0)$, $M(\frac{a}{6}; \frac{a\sqrt{3}}{3})$, $P(x_P; y_P)$.
Ta có $\overrightarrow{AN} = (-\frac{a}{6}; -\frac{a\sqrt{3}}{2})$ và $\overrightarrow{PM} = (\frac{a}{6} - x_P; \frac{a\sqrt{3}}{3} - y_P)$.
Đường thẳng $AB$ có phương trình $y = \sqrt{3}(x + \frac{a}{2})$. Vì $P \in AB$ và $AP = x$ nên $x_P = \frac{ax - a^2}{2a}$, $y_P = \frac{\sqrt{3}(a^2 - ax)}{2a}$.
Khi đó $\overrightarrow{PM} = (\frac{a}{6} - \frac{ax - a^2}{2a}; \frac{a\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}(a^2 - ax)}{2a}) = (\frac{a^2 - 3ax + a}{6a}; \frac{\sqrt{3}(-a^2 + 3ax)}{6a})$.
Để $AN \perp PM$ thì $\overrightarrow{AN}. \overrightarrow{PM} = 0$
$\Leftrightarrow (-\frac{a}{6})(\frac{a^2 - 3ax + a}{6a}) + (-\frac{a\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{3}(-a^2 + 3ax)}{6a}) = 0$
$\Leftrightarrow -\frac{a^2 - 3ax + a}{36} + \frac{3a^2 - 9ax}{12} = 0$
$\Leftrightarrow -a^2 + 3ax - a + 9a^2 - 27ax = 0$
$\Leftrightarrow 8a^2 - 24ax - a = 0$
$\Leftrightarrow 8a - 24x - 1 = 0$
$\Leftrightarrow x = \frac{8a - 1}{24}$
Kiểm tra lại đề bài, ta có tọa độ điểm P sai, $P(x_p,y_p) = (\frac{a-2x}{2}, \frac{\sqrt{3}*(2x)}{2}) $
$\vec{PM} = (\frac{a}{6}-\frac{a-2x}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}(2x)}{2}) = (\frac{-a+6x}{6}, \frac{2a\sqrt{3}-6x\sqrt{3}}{6}) $
$\vec{AN}.\vec{PM} = \frac{a(-a+6x)}{36} + \frac{-a\sqrt{3}(2a\sqrt{3}-6x\sqrt{3})}{12} = 0 $
$\Leftrightarrow -a^2+6ax + -3(2a^2-6ax) = 0 $
$\Leftrightarrow -a^2+6ax - 6a^2+18ax = 0 $
$\Leftrightarrow -7a^2+24ax = 0 $
$\Leftrightarrow 24x = 7a $
$\Leftrightarrow x = \frac{7a}{24}$
Do không có đáp án nào phù hợp, xem lại đề thấy CM = 2a/3 là sai, phải là a/3. Nếu CM = a/3 thì BM = 2a/3.
Khi đó nếu giải lại thì ra x = 2a/3