Câu hỏi:
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình vuông cạnh \[2a,\,\,SA \bot \left( {ABCD} \right)\] và \[SA = 4a.\] Số đo góc nhị diện \[\left[ {B,SC,A} \right]\] bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Trả lời:
Đáp án đúng:
Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Vì $ABCD$ là hình vuông, ta có $AM \perp AB$. Do $SA \bot (ABCD)$, suy ra $SA \bot AB$. Vậy, $AB \bot (SAM)$.
Góc nhị diện $[B,SC,A]$ là góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(SAC)$.
Dựng $AH \bot SC$ tại $H$.
Ta có:
Suy ra góc giữa $(SBC)$ và $(SAC)$ là góc $\widehat{BSC}$.
Ta có $tan(\widehat{BSC}) = \frac{BC}{SA} = \frac{2a}{4a} = \frac{1}{2}$. Vậy $\widehat{BSC} = arctan(\frac{1}{2}) \approx 26.565 \approx 27^{\circ}$.
Xét tam giác $SAC$ vuông tại $A$, ta có $AC = 2a\sqrt{2}$. Xét tam giác $SAB$ vuông tại $A$, ta có $SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{(4a)^2 + (2a)^2} = \sqrt{20a^2} = 2a\sqrt{5}$.
Kẻ $AE \perp SC$. Khi đó $\widehat{[(SBC),(SAC)]} = \widehat{AES}$. Ta có $\frac{1}{AE^2} = \frac{1}{SA^2} + \frac{1}{AC^2} = \frac{1}{16a^2} + \frac{1}{8a^2} = \frac{3}{16a^2}$. Suy ra $AE = \frac{4a}{\sqrt{3}}$.
$tan(\widehat{ASE}) = \frac{AE}{SA} = \frac{\frac{4a}{\sqrt{3}}}{4a} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Suy ra $\widehat{ASE} = 30^{\circ}$.
Gọi $I$ là trung điểm $AB$. Khi đó $CI \perp AB$. Góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABCD)$ là góc $\widehat{SIA}$. $tan(\widehat{SIA}) = \frac{SA}{IA} = \frac{4a}{a} = 4$. $\widehat{SIA} = arctan(4) \approx 75.96 \approx 76^{\circ}$.
Dựng $Ax \perp SC$. Khi đó góc giữa $(SAC)$ và $(SBC)$ là $BCA$. Tính góc $BCA$ ta có $tan(BCA) = 2$. Vậy $BCA \approx 63^{\circ}$.
Góc nhị diện $[B,SC,A]$ là góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(SAC)$.
Dựng $AH \bot SC$ tại $H$.
Ta có:
- $BC \bot (SAB)$ (vì $BC \bot AB$ và $BC \bot SA$)
- Trong $(SAB)$, dựng $BK \bot SB$ tại $K$. Suy ra $CK \bot SB$. Do đó $(SBC) \bot SB$
Suy ra góc giữa $(SBC)$ và $(SAC)$ là góc $\widehat{BSC}$.
Ta có $tan(\widehat{BSC}) = \frac{BC}{SA} = \frac{2a}{4a} = \frac{1}{2}$. Vậy $\widehat{BSC} = arctan(\frac{1}{2}) \approx 26.565 \approx 27^{\circ}$.
Xét tam giác $SAC$ vuông tại $A$, ta có $AC = 2a\sqrt{2}$. Xét tam giác $SAB$ vuông tại $A$, ta có $SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{(4a)^2 + (2a)^2} = \sqrt{20a^2} = 2a\sqrt{5}$.
Kẻ $AE \perp SC$. Khi đó $\widehat{[(SBC),(SAC)]} = \widehat{AES}$. Ta có $\frac{1}{AE^2} = \frac{1}{SA^2} + \frac{1}{AC^2} = \frac{1}{16a^2} + \frac{1}{8a^2} = \frac{3}{16a^2}$. Suy ra $AE = \frac{4a}{\sqrt{3}}$.
$tan(\widehat{ASE}) = \frac{AE}{SA} = \frac{\frac{4a}{\sqrt{3}}}{4a} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Suy ra $\widehat{ASE} = 30^{\circ}$.
Gọi $I$ là trung điểm $AB$. Khi đó $CI \perp AB$. Góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABCD)$ là góc $\widehat{SIA}$. $tan(\widehat{SIA}) = \frac{SA}{IA} = \frac{4a}{a} = 4$. $\widehat{SIA} = arctan(4) \approx 75.96 \approx 76^{\circ}$.
Dựng $Ax \perp SC$. Khi đó góc giữa $(SAC)$ và $(SBC)$ là $BCA$. Tính góc $BCA$ ta có $tan(BCA) = 2$. Vậy $BCA \approx 63^{\circ}$.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
Câu hỏi liên quan

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Giáo Dục Kinh Tế Và Pháp Luật Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Lịch Sử Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Công Nghệ Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Hóa Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Sinh Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
