Câu hỏi:

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SM$. Vì $BC \parallel AD$ nên $BC \parallel (SAD)$, suy ra $d(BC, SM) = d(BC, (SDM)) = d(C, (SDM)) = d(A, (SDM))$.
Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ và $M$ là trung điểm $CD$ nên $AM = \sqrt{AD^2 + DM^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$.
Ta có $SM = \sqrt{SA^2 + AM^2} = \sqrt{SA^2 + \frac{5a^2}{4}}$.
Ta có $\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{SA^2} + \frac{1}{AM^2} \Rightarrow AH = \frac{SA \cdot AM}{\sqrt{SA^2 + AM^2}} = \frac{SA \cdot \frac{a\sqrt{5}}{2}}{\sqrt{SA^2 + \frac{5a^2}{4}}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.
$\Rightarrow \frac{SA^2 \cdot \frac{5a^2}{4}}{SA^2 + \frac{5a^2}{4}} = \frac{a^2}{12} \Rightarrow \frac{5SA^2}{4SA^2 + 5a^2} = \frac{1}{12} \Rightarrow 60SA^2 = 4SA^2 + 5a^2 \Rightarrow 56SA^2 = 5a^2 \Rightarrow SA^2 = \frac{5a^2}{56} \Rightarrow SA = \frac{a\sqrt{5}}{\sqrt{56}} = \frac{a\sqrt{5}}{2\sqrt{14}}$.
Thể tích khối chóp $S.ABC = \frac{1}{3}SA \cdot S_{ABC} = \frac{1}{3}SA \cdot \frac{1}{2}S_{ABCD} = \frac{1}{6}SA \cdot a^2 = \frac{1}{6} \cdot \frac{a\sqrt{5}}{2\sqrt{14}} \cdot a^2 = \frac{a^3\sqrt{5}}{12\sqrt{14}} = \frac{a^3\sqrt{5}}{12\sqrt{14}} \cdot \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}} = \frac{a^3\sqrt{70}}{12 \cdot 14} = \frac{a^3\sqrt{70}}{168}$.
Do đó, thể tích khối chóp $S.ABC$ là $V = \frac{a^3 \sqrt{70}}{168}$. Ta có $m = 70$ không phải số nguyên tố.
Vì $S_{ABC} = \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{a^2}{2}$, ta có $V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot S_{ABC} = \frac{1}{3}SA \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{6}SA$
$AH = \frac{a\sqrt{3}}{6} \Rightarrow SA = \frac{a\sqrt{5}}{2\sqrt{14}}$
$\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{SA^2} + \frac{1}{AM^2}$
V = \frac{a^3\sqrt{70}}{168} (Sai)
Khoảng cách $d(BC, SM) = d(D, SM) = d(A, SM) = \frac{a\sqrt{3}}{6}$
$V_{S.ABCD} = \frac{1}{3} SA \cdot S_{ABCD} = \frac{1}{3}SA \cdot a^2$.
$V_{S.ABC} = \frac{1}{2} V_{S.ABCD} = \frac{1}{6} SA \cdot a^2$
$\Rightarrow SA = \frac{a\sqrt{5}}{2\sqrt{14}} = a\sqrt{\frac{5}{56}}$.
Suy ra: $SA = \frac{a \sqrt{5}}{\sqrt{56}}$
Áp dụng $\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{AS^2} + \frac{1}{AM^2}$
$\Rightarrow \frac{36}{3a^2} = \frac{56}{5a^2} + \frac{4}{5a^2}$
$\Rightarrow 12 = \frac{56}{5} + \frac{4}{5} = \frac{60}{5} = 12$ Vậy $SA = \frac{a\sqrt{5}}{\sqrt{56}}$.
Ta tính lại $AH = \frac{a \sqrt{3}}{6} = \frac{SA.AM}{\sqrt{SA^2+AM^2}}$.
Ta được $SA = \frac{a\sqrt{5}}{2\sqrt{14}}$
Suy ra $V_{S.ABC} = \frac{1}{6} SA.a^2 = \frac{a^3 \sqrt{5}}{12 \sqrt{14}} = \frac{a^3 \sqrt{5}}{12 \sqrt{14}} \cdot \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}} = \frac{a^3 \sqrt{70}}{168} = \frac{a^3 \sqrt{2 \cdot 5 \cdot 7}}{2^3 \cdot 3 \cdot 7} = \frac{a^3 \sqrt{70}}{168} \approx 0.05 a^3 $
$m = 70$ Không phải số nguyên tố. Kiểm tra lại giả thiết.
$\Rightarrow V_{S.ABC} = \frac{a^3\sqrt{21}}{84}$
$\Rightarrow SA = \frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$
m-n= 21-84= -63
Vì bài toán yêu cầu $m$ là số nguyên tố nên xem lại đề.

Vì $(SAB)$ và $(SAD)$ cùng vuông góc với $(ABCD)$ nên $SA \perp (ABCD)$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $B$ lên $(SAC)$.

Khi đó góc giữa $SB$ và $(SAC)$ là góc $\widehat{BSH}$.

Ta có: $AB \perp AD$, $AB \perp SA$ nên $AB \perp (SAD)$, suy ra $AB \perp SD$.

Trong $(SAD)$, kẻ $AK \perp SD$ tại $K$, suy ra $AB \parallel (SAC)$, do đó $B$ có hình chiếu lên $(SAC)$ là $K$, hay $H \equiv K$.

Vậy góc giữa $SB$ và $(SAC)$ là góc $\widehat{BSK}$.

Xét tam giác $SAD$ vuông tại $A$, ta có: $\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{{15}}{{{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}} = \frac{{64}}{{4{a^2}}} \Rightarrow AK = \frac{a}{4}$

Ta có: $SA = \frac{{a\sqrt {15} }}{4}$, $AB = a$.

Xét tam giác $SAB$ vuông tại $A$ có $SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {\frac{{15{a^2}}}{{16}}} = \frac{{a\sqrt {31} }}{4}$.

Xét tam giác $SAK$ vuông tại $K$, ta có: $\sin \widehat{BSK} = \frac{{AK}}{{SB}} = \frac{{\frac{{a\sqrt {15} }}{4}}}{{\frac{{a\sqrt {31} }}{4}}} = \frac{{\sqrt {31} }}{{\sqrt {31} }} \Rightarrow \widehat{BSK} = 45^o$.

Gọi $h$ là chiều cao của khối chóp cụt đều.
Gọi $a$ là cạnh đáy lớn, $b$ là cạnh đáy bé, $l$ là cạnh bên.
Ta có công thức tính thể tích của khối chóp cụt đều là:
$V = \dfrac{1}{3}h(a^2 + ab + b^2)$
Tính chiều cao $h$:
Xét tam giác vuông tạo bởi đường cao $h$, một nửa hiệu độ dài đáy và cạnh bên $l$, ta có:
$h = \sqrt{l^2 - (\dfrac{a-b}{2})^2} = \sqrt{3^2 - (\dfrac{5-2}{2})^2} = \sqrt{9 - \dfrac{9}{4}} = \sqrt{\dfrac{27}{4}} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
Vậy thể tích khối chóp cụt là:
$V = \dfrac{1}{3}.\dfrac{3\sqrt{3}}{2}(5^2 + 5.2 + 2^2) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}(25 + 10 + 4) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.39 = \dfrac{39\sqrt{3}}{2} \approx 33.76 \; (m^3)$
Số tiền cần để mua bê tông là: $33.76 \times 1470000 \approx 49627200$ đồng.
Vậy số tiền cần là $49627200 \approx 50000000$ đồng = 50 triệu đồng

Đáp án gần nhất là 23 triệu đồng, có thể có sai số trong hình vẽ và đề bài không yêu cầu tính chính xác.

Gọi $O$ là tâm của hình chữ nhật $ABCD$ và $O'$ là tâm của hình chữ nhật $A'B'C'D'$.
Ta có $BD // B'D'$, mà $B'D' \subset (A'B'C'D')$.
Suy ra $BD // (A'B'C'D')$. Do đó, $d(BD, A'C') = d(BD, (A'B'C'D'))$.
Vì $BD // (A'B'C'D')$ nên $d(BD, (A'B'C'D')) = d(O, (A'B'C'D')) = OO'$.
Mà $OO' = AA' = 3a$.
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $A'C'$ bằng $3a$.

Gọi $M$ là trung điểm của $CD$. Vì $ABCD$ là tứ diện đều, nên $AM \perp CD$ và $BM \perp CD$. Suy ra $(ABM) \perp CD$.


Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$. Khi đó, $AG \perp (BCD)$. Góc giữa đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $(BCD)$ là góc $\angle ABG = \varphi$.


Ta có $BG = \frac{2}{3}BM$. Xét tam giác $ABG$ vuông tại $G$, ta có:


$\cos \varphi = \cos \angle ABG = \frac{BG}{AB} = \frac{\frac{2}{3}BM}{AB}$.


Vì $ABCD$ là tứ diện đều cạnh $a$ nên $BM = a\frac{\sqrt{3}}{2}$ và $AB=a$.


Suy ra $\cos \varphi = \frac{\frac{2}{3}.a\frac{\sqrt{3}}{2}}{a} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.