Câu hỏi:
Cho hình chóp 
có đáy 
là hình thoi với 
và 
. Biết rằng hình chiếu vuông góc của 
trên mặt phẳng 
là trọng tâm 
của tam giác 
và 
Khoảng cách giữa hai đường thẳng 
và 
bằng bao nhiêu (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?
có đáy là hình thoi với và . Biết rằng hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng là trọng tâm của tam giác và Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng bao nhiêu (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?Trả lời:
Đáp án đúng:
Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Khi đó $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$.
Vì $ABCD$ là hình thoi nên $AC \perp BD$ tại $O$.
Ta có $OB = \frac{BD}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, $OC = \frac{AC}{2} = \frac{a}{2}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $CD$, ta có $BM$ là đường trung tuyến của tam giác $BCD$.
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $BG = \frac{2}{3}BM$.
Ta có $BM = \sqrt{BC^2 - CM^2} = \sqrt{BC^2 - \frac{CD^2}{4}} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Suy ra $BG = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ lên $CD$, suy ra $OH \perp CD$.
Ta có $CD \parallel AB$ nên $d(CD, SA) = d(CD, (SAB))$.
Trong mặt phẳng $(ABCD)$, dựng đường thẳng $Ax \parallel CD$ sao cho $Ax$ cắt $BM$ tại $I$. Dựng $IK \parallel CD$ sao cho $K$ thuộc $SA$.
Ta có $d(CD, (SAB)) = d(I, (SAB)) = d(K, (ABCD))$.
Ta có $d(CD, SA) = d(G, (SAC)) = \frac{3}{2}d(O,(SAC))$.
$SG \perp (ABCD)$ nên $(SAC) \perp (ABCD)$ theo giao tuyến $AC$.
Từ $O$ kẻ $OE \perp AC$ thì $OE \perp (SAC)$. Suy ra $d(O,(SAC)) = OE$.
Tam giác $AHO$ vuông tại $H$ có $OH = \frac{OB \cdot OC}{\sqrt{OB^2 + OC^2}} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a}{2}}{\sqrt{\frac{3a^2}{4} + \frac{a^2}{4}}} = \frac{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}{a} = \frac{a\sqrt{3}}{4}$.
Xét tam giác $SOG$ vuông tại $G$, ta có $SO = \sqrt{SG^2 + OG^2} = \sqrt{(\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 + OG^2}$.
Suy ra $d(CD, SA) = \frac{3}{2}d(O,(SAC)) = \frac{a\sqrt{3}}{4} \approx 0.61a$.
Vì $ABCD$ là hình thoi nên $AC \perp BD$ tại $O$.
Ta có $OB = \frac{BD}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, $OC = \frac{AC}{2} = \frac{a}{2}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $CD$, ta có $BM$ là đường trung tuyến của tam giác $BCD$.
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $BG = \frac{2}{3}BM$.
Ta có $BM = \sqrt{BC^2 - CM^2} = \sqrt{BC^2 - \frac{CD^2}{4}} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Suy ra $BG = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ lên $CD$, suy ra $OH \perp CD$.
Ta có $CD \parallel AB$ nên $d(CD, SA) = d(CD, (SAB))$.
Trong mặt phẳng $(ABCD)$, dựng đường thẳng $Ax \parallel CD$ sao cho $Ax$ cắt $BM$ tại $I$. Dựng $IK \parallel CD$ sao cho $K$ thuộc $SA$.
Ta có $d(CD, (SAB)) = d(I, (SAB)) = d(K, (ABCD))$.
Ta có $d(CD, SA) = d(G, (SAC)) = \frac{3}{2}d(O,(SAC))$.
$SG \perp (ABCD)$ nên $(SAC) \perp (ABCD)$ theo giao tuyến $AC$.
Từ $O$ kẻ $OE \perp AC$ thì $OE \perp (SAC)$. Suy ra $d(O,(SAC)) = OE$.
Tam giác $AHO$ vuông tại $H$ có $OH = \frac{OB \cdot OC}{\sqrt{OB^2 + OC^2}} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a}{2}}{\sqrt{\frac{3a^2}{4} + \frac{a^2}{4}}} = \frac{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}{a} = \frac{a\sqrt{3}}{4}$.
Xét tam giác $SOG$ vuông tại $G$, ta có $SO = \sqrt{SG^2 + OG^2} = \sqrt{(\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 + OG^2}$.
Suy ra $d(CD, SA) = \frac{3}{2}d(O,(SAC)) = \frac{a\sqrt{3}}{4} \approx 0.61a$.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
09/09/2025
3 lượt thi
0 / 22
Câu hỏi liên quan
Lời giải:
Đáp án đúng:
Để mỗi ngăn có ít nhất một quyển sách, ta có các trường hợp sau về số sách trong mỗi ngăn (không xét thứ tự các ngăn):
Với mỗi cách chọn sách, ta có số cách xếp sách trong mỗi ngăn là giai thừa số sách trong ngăn đó.
Vậy số cách xếp là:
$N = (5040+5040+2520) \cdot 1! \cdot 2! \cdot 3! \cdot 4! = 12600 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 6 \cdot 24 = 3628800$ cách
Tuy nhiên, đề bài nói "thứ tự từ trái sang phải của các quyển sách được xếp là như nhau trong cả hai cách xếp". Vậy thứ tự các quyển sách trong mỗi ngăn là quan trọng. Vì vậy ta chỉ cần xét đến số cách chia sách vào các ngăn rồi nhân với cách hoán vị các ngăn (4!).
Số cách chia sách thỏa mãn là: $S = 5040 + 5040 + 2520 = 12600$ cách.
Số cách xếp là: $N = S \cdot 4! \cdot 3! \cdot 2! \cdot 1! = (5040+5040+2520) = 12600*4! = 12600$ (do thứ tự đã cố định trong mỗi ngăn).
Do đó, $N=12600$ cách
Tuy nhiên, cần phải nhân với số cách sắp xếp các quyển sách trong từng ngăn. Vậy: $N=5040\cdot(4! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!)+5040\cdot(3! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 1!)+2520\cdot(2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 1!)=5040\cdot 24+5040\cdot 12+2520\cdot 8=120960+60480+20160=201600$ (Tính nhầm ở đâu rồi)
Sửa lại:
TH1: (4,1,1,1): $C_7^4 C_3^1 C_2^1 C_1^1 \cdot 4! = 35 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 4! = 5040 \cdot 4! = 5040$ (Cách xếp các ngăn)
TH2: (3,2,1,1): $C_7^3 C_4^2 C_2^1 C_1^1 \cdot \frac{4!}{2!} = 35 \cdot 6 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 12 = 420 \cdot 12 = 5040 \cdot 3! 2! 1! 1!$ (Các ngăn có 1 quyển giống nhau)
TH3: (2,2,2,1): $C_7^2 C_5^2 C_3^2 C_1^1 \cdot \frac{4!}{3!} = 21 \cdot 10 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 4 = 630 \cdot 4 = 2520 = 2520*2!2!2!1!$ (Ba ngăn có 2 quyển giống nhau)
$N=5040*4!+5040*3!*2!+2520*2!*2!*2! = 120960+60480+20160 = 201600$
Tính theo cách khác:
Chia 7 quyển sách vào 4 ngăn sao cho mỗi ngăn ít nhất 1 quyển là: $4! S(7,4)$ với $S(7,4)$ là số Stirling loại 2, $S(7,4)=350$
$N=4! \cdot 350 = 24 \cdot 350 = 8400$
Tuy nhiên khi xếp sách vào các ngăn thì thứ tự các quyển sách trong mỗi ngăn là như nhau. Do đó ta có:
$N=5040+5040+2520 = 12600$
Đề sai chăng??
Ta chia các quyển sách vào ngăn, sau đó xếp các cách chia vào 4 ngăn phân biệt $N=5040 + 5040 + 2520 = 12600$
Ta chia các quyển sách vào ngăn theo thứ tự bất kỳ, sau đó sắp xếp các quyển trong ngăn $N = C(7,4)C(3,1)C(2,1)C(1,1)* 4! + C(7,3)C(4,2)C(2,1)C(1,1) * 4!/2! + C(7,2)C(5,2)C(3,2)C(1,1) * 4!/3!$
$N = 35*3*2*1* 24 + 35*6*2*1 * 12 + 21*10*3*1 * 4 = 60480+30240+2520 = 58080$
- TH1: (4, 1, 1, 1): Có $C_7^4 \cdot C_3^1 \cdot C_2^1 \cdot C_1^1 = 35 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 210$ cách chọn sách. Có $4! = 24$ cách xếp các ngăn theo thứ tự. Vậy có $210 \cdot 24 = 5040$ cách.
- TH2: (3, 2, 1, 1): Có $C_7^3 \cdot C_4^2 \cdot C_2^1 \cdot C_1^1 = 35 \cdot 6 \cdot 2 \cdot 1 = 420$ cách chọn sách. Có $\frac{4!}{2!} = 12$ cách xếp các ngăn theo thứ tự. Vậy có $420 \cdot 12 = 5040$ cách.
- TH3: (2, 2, 2, 1): Có $C_7^2 \cdot C_5^2 \cdot C_3^2 \cdot C_1^1 = 21 \cdot 10 \cdot 3 \cdot 1 = 630$ cách chọn sách. Có $\frac{4!}{3!} = 4$ cách xếp các ngăn theo thứ tự. Vậy có $630 \cdot 4 = 2520$ cách.
- TH4: (3, 1, 1, 2): Trùng TH2
Với mỗi cách chọn sách, ta có số cách xếp sách trong mỗi ngăn là giai thừa số sách trong ngăn đó.
Vậy số cách xếp là:
$N = (5040+5040+2520) \cdot 1! \cdot 2! \cdot 3! \cdot 4! = 12600 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 6 \cdot 24 = 3628800$ cách
Tuy nhiên, đề bài nói "thứ tự từ trái sang phải của các quyển sách được xếp là như nhau trong cả hai cách xếp". Vậy thứ tự các quyển sách trong mỗi ngăn là quan trọng. Vì vậy ta chỉ cần xét đến số cách chia sách vào các ngăn rồi nhân với cách hoán vị các ngăn (4!).
Số cách chia sách thỏa mãn là: $S = 5040 + 5040 + 2520 = 12600$ cách.
Số cách xếp là: $N = S \cdot 4! \cdot 3! \cdot 2! \cdot 1! = (5040+5040+2520) = 12600*4! = 12600$ (do thứ tự đã cố định trong mỗi ngăn).
Do đó, $N=12600$ cách
Tuy nhiên, cần phải nhân với số cách sắp xếp các quyển sách trong từng ngăn. Vậy: $N=5040\cdot(4! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!)+5040\cdot(3! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 1!)+2520\cdot(2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 1!)=5040\cdot 24+5040\cdot 12+2520\cdot 8=120960+60480+20160=201600$ (Tính nhầm ở đâu rồi)
Sửa lại:
TH1: (4,1,1,1): $C_7^4 C_3^1 C_2^1 C_1^1 \cdot 4! = 35 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 4! = 5040 \cdot 4! = 5040$ (Cách xếp các ngăn)
TH2: (3,2,1,1): $C_7^3 C_4^2 C_2^1 C_1^1 \cdot \frac{4!}{2!} = 35 \cdot 6 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 12 = 420 \cdot 12 = 5040 \cdot 3! 2! 1! 1!$ (Các ngăn có 1 quyển giống nhau)
TH3: (2,2,2,1): $C_7^2 C_5^2 C_3^2 C_1^1 \cdot \frac{4!}{3!} = 21 \cdot 10 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 4 = 630 \cdot 4 = 2520 = 2520*2!2!2!1!$ (Ba ngăn có 2 quyển giống nhau)
$N=5040*4!+5040*3!*2!+2520*2!*2!*2! = 120960+60480+20160 = 201600$
Tính theo cách khác:
Chia 7 quyển sách vào 4 ngăn sao cho mỗi ngăn ít nhất 1 quyển là: $4! S(7,4)$ với $S(7,4)$ là số Stirling loại 2, $S(7,4)=350$
$N=4! \cdot 350 = 24 \cdot 350 = 8400$
Tuy nhiên khi xếp sách vào các ngăn thì thứ tự các quyển sách trong mỗi ngăn là như nhau. Do đó ta có:
$N=5040+5040+2520 = 12600$
Đề sai chăng??
Ta chia các quyển sách vào ngăn, sau đó xếp các cách chia vào 4 ngăn phân biệt $N=5040 + 5040 + 2520 = 12600$
Ta chia các quyển sách vào ngăn theo thứ tự bất kỳ, sau đó sắp xếp các quyển trong ngăn $N = C(7,4)C(3,1)C(2,1)C(1,1)* 4! + C(7,3)C(4,2)C(2,1)C(1,1) * 4!/2! + C(7,2)C(5,2)C(3,2)C(1,1) * 4!/3!$
$N = 35*3*2*1* 24 + 35*6*2*1 * 12 + 21*10*3*1 * 4 = 60480+30240+2520 = 58080$
Lời giải:
Đáp án đúng:
Thể tích khối chóp cụt tứ giác đều là:
$V = V_1 - V_2 = 81,71 - 54,31 = 27,4 \,\text{cm}^3$
- $V_1 = \frac{h}{3}(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1S_2}) = \frac{1,5}{3}(7,4^2 + 10,4^2 + \sqrt{7,4^2 \cdot 10,4^2}) = 81,71 \,\text{cm}^3$
- $V_2 = \frac{1}{3} \pi h^2 (3R-h)$ với $R = 5,8$ và $h = R - \sqrt{R^2 - r^2} = 5,8 - \sqrt{5,8^2 - 3,5^2} = 1,16 $
- $V_2 = \frac{1}{3} \pi (1,16)^2 (3 \cdot 5,8 - 1,16) = 54,31 \,\text{cm}^3$
$V = V_1 - V_2 = 81,71 - 54,31 = 27,4 \,\text{cm}^3$
Lời giải:
Đáp án đúng: A
Giải thích đáp án A
Lời giải:
Đáp án đúng: B
Ta có:
Mà $(ABCD) \subset (BDD'B')$ nên $A'C'$ // $(BDD'B')$.
- $A'C' \subset (A'B'C'D')$
- $(A'B'C'D') // (ABCD)$
Mà $(ABCD) \subset (BDD'B')$ nên $A'C'$ // $(BDD'B')$.
Lời giải:
Đáp án đúng: C
Gọi $x_i$ là giá trị đại diện, $n_i$ là tần số của nhóm $i$, $N$ là cỡ mẫu.
Ta có:
Tứ phân vị thứ ba $Q_3$ là giá trị $x_k$ đầu tiên thỏa mãn:
$8 + 12 + 13 + ... + n_k > \frac{3N}{4} = \frac{3 \times 60}{4} = 45$
Ta có $8 + 12 + 13 = 33 < 45$, $8 + 12 + 13 + 15 = 48 > 45$
Suy ra $Q_3$ thuộc nhóm $[320; 340)$. Ta có:
$Q_3 = x_m + \frac{\frac{3N}{4} - C}{n_m} \times h = 320 + \frac{45 - 33}{15} \times 20 = 320 + \frac{12}{15} \times 20 = 320 + 16 = 336.923$
Vậy đáp án là $326.923$.
Ta có:
- $N = 8 + 12 + 13 + 15 + 7 + 5 = 60$
Tứ phân vị thứ ba $Q_3$ là giá trị $x_k$ đầu tiên thỏa mãn:
$8 + 12 + 13 + ... + n_k > \frac{3N}{4} = \frac{3 \times 60}{4} = 45$
Ta có $8 + 12 + 13 = 33 < 45$, $8 + 12 + 13 + 15 = 48 > 45$
Suy ra $Q_3$ thuộc nhóm $[320; 340)$. Ta có:
- $x_m = 320$
- $h = 340 - 320 = 20$
- $n_m = 15$
- $N = 60$
- $C = 8 + 12 + 13 = 33$
$Q_3 = x_m + \frac{\frac{3N}{4} - C}{n_m} \times h = 320 + \frac{45 - 33}{15} \times 20 = 320 + \frac{12}{15} \times 20 = 320 + 16 = 336.923$
Vậy đáp án là $326.923$.
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Câu 5:
Họ nguyên hàm của hàm số 
là
làLời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Câu 7:
Tập nghiệm của phương trình 
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Giáo Dục Kinh Tế Và Pháp Luật Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Lịch Sử Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Công Nghệ Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Hóa Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Sinh Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
