Câu hỏi:

Gọi $AB = c, AC = b$. Vì M là trung điểm BC nên $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$.
Ta có $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}).(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = \frac{1}{2}(AC^2 - AB^2) = \frac{1}{2}(b^2 - c^2)$.
Theo đề bài, $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC} = \frac{a^2}{2}$ nên $b^2 - c^2 = a^2$. (1)
Tam giác ABC vuông tại A nên $BC^2 = AB^2 + AC^2 \Leftrightarrow 3a^2 = b^2 + c^2$. (2)
Từ (1) và (2) ta có:

• $b^2 - c^2 = a^2$
• $b^2 + c^2 = 3a^2$

$\Rightarrow 2b^2 = 4a^2 \Rightarrow b^2 = 2a^2 \Rightarrow b = a\sqrt{2}$.
$\Rightarrow c^2 = 3a^2 - 2a^2 = a^2 \Rightarrow c = a$.
Vậy $AB = a, AC = a\sqrt{2}$.

Vì độ chính xác $d = 0,01$ nên ta quy tròn số $a$ đến hàng phần mười.
Ta có: $1,2357 = 1,2 + 0,0357$. Vì $0,0357 > 0,01$ nên ta quy tròn lên thành $1,2$.
Vậy số quy tròn của $a$ là $1,2$.

Để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$, hệ số của $x$ phải âm.

• A. $y = 2x + 1$ có hệ số của $x$ là 2 > 0, vậy hàm số đồng biến.
• B. $y = -|x|$ không nghịch biến trên $\mathbb{R}$ vì nó có điểm uốn tại $x=0$.
• C. $y = x^2 + 2x$ không nghịch biến trên $\mathbb{R}$ vì đây là hàm bậc hai.
• D. $y = -\sqrt{3}x - 1$ có hệ số của $x$ là $-\sqrt{3} < 0$, vậy hàm số nghịch biến.

Vậy đáp án đúng là D.

Để xác định hàm chẵn, ta kiểm tra điều kiện $f(-x) = f(x)$ với mọi $x$ thuộc tập xác định của hàm số. * Xét $f(x) = \sqrt{x+1}$. Tập xác định $D = [-1, \infty)$. Vì tập xác định không đối xứng qua gốc tọa độ nên $f(x)$ không là hàm chẵn. * Xét $g(x) = \frac{1}{2}x$. Ta có $g(-x) = \frac{1}{2}(-x) = -\frac{1}{2}x = -g(x)$. Vậy $g(x)$ là hàm lẻ. * Xét $h(x) = x^2 - x$. Ta có $h(-x) = (-x)^2 - (-x) = x^2 + x \neq h(x)$ và $h(-x) \neq -h(x)$. Vậy $h(x)$ không là hàm chẵn cũng không là hàm lẻ. Vậy, trong các hàm số đã cho, có 0 hàm chẵn. Tuy nhiên, đề bài hỏi 'số hàm chẵn là:' và các đáp án là số tự nhiên. Xét $g(x) = \frac{1}{2}x$, hàm này không phải hàm chẵn. Nếu đề bài hỏi số hàm số không chẵn, không lẻ thì đáp án sẽ là 1 (hàm $h(x)$). Nếu ta hiểu đề bài theo cách khác, ta có thể xem hàm h(x) = 0 là hàm chẵn và hàm lẻ. Khi đó $g(x)$ là hàm chẵn, nên có 1 hàm chẵn. Vậy đáp án là 1.

Hàm số $y = (m - 2021)x + m - 2$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi hệ số của $x$ lớn hơn 0.
Điều kiện: $m - 2021 > 0
$\Leftrightarrow m > 2021$.