JavaScript is required

Câu hỏi:

Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị như hình vẽ.

a) Hàm số đã cho có hai cực trị trái dấu.

b) \(f\left( 5 \right) = 52\).

c) Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\). Khoảng cách từ điểm \(O\) đến đường thẳng \(d\) bằng \(\frac{2}{5}\).

d) Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - \left( {3x - 2{x^3}} \right)\) đạt cực tiểu tại \(x = - 1\).

Hàm số đã cho có hai cực trị trái dấu. (ảnh 1)

Trả lời:

Đáp án đúng:


Quan sát đồ thị, ta thấy:
  • Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục $Oy$, do đó có hai cực trị trái dấu. Vậy phát biểu a) đúng.
  • Đồ thị hàm số đi qua các điểm $(0; 0), (1; -1), (-1; 1)$. Thay vào phương trình hàm số $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$, ta có:
    $\begin{cases} d = 0 \\ a + b + c + d = -1 \\ -a + b - c + d = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} d = 0 \\ b = 0 \\ a + c = -1 \end{cases}$
    Phương trình hàm số trở thành: $y = ax^3 + cx = ax^3 + (-1 - a)x$.
    Suy ra $y' = 3ax^2 + c = 3ax^2 - 1 - a$.
    Cho $y' = 0$, ta có $3ax^2 = 1 + a \Rightarrow x^2 = \frac{1 + a}{3a}$.
    Do $x = \pm 1$ là các điểm cực trị, nên $1 = \frac{1 + a}{3a} \Rightarrow 3a = 1 + a \Rightarrow a = \frac{1}{2}$.
    Vậy $c = -1 - a = -\frac{3}{2}$.
    Hàm số là $y = \frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{2}x$.
  • $f(5) = \frac{1}{2}(5^3) - \frac{3}{2}(5) = \frac{125}{2} - \frac{15}{2} = \frac{110}{2} = 55$. Vậy phát biểu b) sai.
  • Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{2}x$ là $y = -\frac{3}{2}x$.
    Vậy đường thẳng $d$ là $y = -\frac{3}{2}x \Leftrightarrow 3x + 2y = 0$.
    Khoảng cách từ điểm $O(0; 0)$ đến đường thẳng $d$ là $d(O, d) = \frac{|3(0) + 2(0)|}{\sqrt{3^2 + 2^2}} = 0$. Vậy phát biểu c) sai.
  • $g(x) = f(x) - (3x - 2x^3) = \frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{2}x - 3x + 2x^3 = \frac{5}{2}x^3 - \frac{9}{2}x$.
    $g'(x) = \frac{15}{2}x^2 - \frac{9}{2}$.
    $g'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{15}{2}x^2 = \frac{9}{2} \Leftrightarrow x^2 = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{\frac{3}{5}}$.
    $g''(x) = 15x$.
    $g''(-1) = -15 < 0$. Vậy $x = -1$ là điểm cực đại của hàm số $g(x)$. Vậy phát biểu d) sai.
Do đó đáp án đúng là đáp án c).

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Câu hỏi liên quan