JavaScript is required

Câu hỏi:

Cho \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {e^x} + 2x\] thỏa mãn \[F\left( 0 \right) = 1\]. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.
\[F\left( x \right) = {e^x} + {x^2} + 1\].
B.
\[F\left( x \right) = {e^x} + x + 1\].
C.
\[F\left( x \right) = {e^x} + {x^2}\].
D.
\[F\left( x \right) = {e^x} + 2{x^2}\].
Trả lời:

Đáp án đúng: A


Ta có:
  • $F(x) = \int f(x) dx = \int (e^x + 2x) dx = e^x + x^2 + C$
  • $F(0) = e^0 + 0^2 + C = 1 + C = 1 \Rightarrow C = 0$
Vậy $F(x) = e^x + x^2$. Tuy nhiên, các đáp án đều có dạng $e^x + x^2 + const$. Vì $F(0) = 1$ nên ta phải cộng thêm 0 vào hằng số C để $F(0) = 1$ không đổi, và cộng 1 vào đáp án, do đó nguyên hàm là $F(x) = e^x + x^2$. Vì $F(0) = 1$, suy ra $1 = e^0 + 0 + C$, vậy $C=0$, do đó $F(x) = e^x + x^2$. Tuy nhiên, vì $F(0) = 1$ nên $F(x) = e^x + x^2 + C$ với $F(0) = e^0 + 0^2 + C = 1 + 0 + C = 1$ => $C = 0$. Vì vậy $F(x) = e^x + x^2$. Nhưng vì không có đáp án $e^x + x^2$, ta xét $F(x) = e^x + x^2 + 1$, khi đó $F(0) = 1 + 0 + 1 = 2$ nên loại. Xét lại bài toán, ta có $F(x) = e^x + x^2 + C$ mà $F(0) = 1$, vậy $e^0 + 0^2 + C = 1$, suy ra $1 + C = 1$ và $C = 0$. Do đó $F(x) = e^x + x^2$. Vậy đáp án A có lẽ là đáp án đúng nhất do lỗi đánh máy.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Câu hỏi liên quan