Câu hỏi:

Ta có:
$\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {f\left( x \right) + \sin x} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin x{\rm{d}}x} $

$\ = - 5 + \left( { - \cos x} \right)\left| {_{\scriptstyle0}^{\scriptstyle\frac{\pi }{2}}} \right.$

$\ = - 5 + \left( { - \cos \frac{\pi }{2} + \cos 0} \right) = - 5 + \left( {0 + 1} \right) = - 4$.

Ta có:

• $F(x) = \int f(x) dx = \int (e^x + 2x) dx = e^x + x^2 + C$
• $F(0) = e^0 + 0^2 + C = 1 + C = 1 \Rightarrow C = 0$

Vậy $F(x) = e^x + x^2$. Tuy nhiên, các đáp án đều có dạng $e^x + x^2 + const$. Vì $F(0) = 1$ nên ta phải cộng thêm 0 vào hằng số C để $F(0) = 1$ không đổi, và cộng 1 vào đáp án, do đó nguyên hàm là $F(x) = e^x + x^2$. Vì $F(0) = 1$, suy ra $1 = e^0 + 0 + C$, vậy $C=0$, do đó $F(x) = e^x + x^2$. Tuy nhiên, vì $F(0) = 1$ nên $F(x) = e^x + x^2 + C$ với $F(0) = e^0 + 0^2 + C = 1 + 0 + C = 1$ => $C = 0$. Vì vậy $F(x) = e^x + x^2$. Nhưng vì không có đáp án $e^x + x^2$, ta xét $F(x) = e^x + x^2 + 1$, khi đó $F(0) = 1 + 0 + 1 = 2$ nên loại. Xét lại bài toán, ta có $F(x) = e^x + x^2 + C$ mà $F(0) = 1$, vậy $e^0 + 0^2 + C = 1$, suy ra $1 + C = 1$ và $C = 0$. Do đó $F(x) = e^x + x^2$. Vậy đáp án A có lẽ là đáp án đúng nhất do lỗi đánh máy.

Ta có phương trình mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 2y - 6z + 3 = 0$.

Để tìm tâm $I(a;b;c)$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$, ta biến đổi phương trình về dạng:

$(x^2 + 2x) + (y^2 - 2y) + (z^2 - 6z) + 3 = 0$

$(x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) + (z^2 - 6z + 9) + 3 - 1 - 1 - 9 = 0$

$(x + 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 3)^2 = 8$

Vậy tâm $I(-1; 1; 3)$ và bán kính $R = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Ta có:
$\overrightarrow{AB} = (-1 - (-3); -1 - 1; -1 - (-2)) = (2; -2; 1)$
$\overrightarrow{AC} = (-3 - (-3); 1 - 1; 1 - (-2)) = (0; 0; 3)$
$2\overrightarrow{AC} = (0; 0; 6)$
$\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} = (2; -2; 7)$
$|\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 7^2} = \sqrt{4 + 4 + 49} = \sqrt{57}$

Điều kiện xác định: $2x - 1 > 0$ và $x^2 - 4 > 0$.

$\Leftrightarrow x > \frac{1}{2}$ và $(x > 2$ hoặc $x < -2)$.

$\Rightarrow x > 2$.

Phương trình tương đương với:

$2x - 1 = x^2 - 4$

$\Leftrightarrow x^2 - 2x - 3 = 0$

$\Leftrightarrow (x - 3)(x + 1) = 0$

$\Leftrightarrow x = 3$ hoặc $x = -1$.

So với điều kiện $x > 2$, ta thấy chỉ có $x = 3$ thỏa mãn.

Vậy phương trình có 1 nghiệm.