Câu hỏi:

Ta có $\cos \alpha = -\frac{2}{3}$. Suy ra $\cos^2 \alpha = \frac{4}{9}$.
Vì $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ nên $\sin^2 \alpha = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$.
Do đó $\sin \alpha = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$. Ta xét hai trường hợp:
* **Trường hợp 1:** $\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$. Khi đó $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{-\frac{2}{3}} = -\frac{\sqrt{5}}{2}$ và $\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = -\frac{2}{\sqrt{5}}$.
Thay vào biểu thức $E$, ta có:
$E = \frac{-\frac{2}{\sqrt{5}} + 3(-\frac{\sqrt{5}}{2})}{2(-\frac{2}{\sqrt{5}}) - \frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{-\frac{2}{\sqrt{5}} - \frac{3\sqrt{5}}{2}}{-\frac{4}{\sqrt{5}} - \frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{\frac{-4 - 15\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}}{\frac{-8-5\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}} = \frac{-19}{-13} = \frac{19}{13}$.
* **Trường hợp 2:** $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3}$. Khi đó $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{\sqrt{5}}{3}}{-\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ và $\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
Thay vào biểu thức $E$, ta có:
$E = \frac{\frac{2}{\sqrt{5}} + 3(\frac{\sqrt{5}}{2})}{2(\frac{2}{\sqrt{5}}) + \frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{\frac{2}{\sqrt{5}} + \frac{3\sqrt{5}}{2}}{\frac{4}{\sqrt{5}} + \frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{\frac{4 + 15\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}}{\frac{8+5\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}} = \frac{19}{13}$.
Tuy nhiên, đáp án này không có trong các lựa chọn. Kiểm tra lại đề bài và các đáp án.
Có vẻ như có một sai sót trong quá trình tính toán hoặc trong các đáp án đã cho. Ta sẽ tính lại biểu thức E với $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$.
$E = \frac{{\cot \alpha + 3\tan \alpha }}{{2\cot \alpha + \tan \alpha }} = \frac{{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + 3\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} }}{{2\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} }} = \frac{{\frac{\cos^2 \alpha + 3\sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}}}{{\frac{2\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}}} = \frac{{\cos^2 \alpha + 3\sin^2 \alpha}}{{2\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}} = \frac{{\cos^2 \alpha + 3(1 - \cos^2 \alpha)}}{{2\cos^2 \alpha + (1 - \cos^2 \alpha)}} = \frac{{\cos^2 \alpha + 3 - 3\cos^2 \alpha}}{{2\cos^2 \alpha + 1 - \cos^2 \alpha}} = \frac{{3 - 2\cos^2 \alpha}}{{1 + \cos^2 \alpha}}$
Thay $\cos \alpha = -\frac{2}{3}$ vào, ta có:
$E = \frac{{3 - 2(\frac{4}{9})}}{{1 + \frac{4}{9}}} = \frac{{3 - \frac{8}{9}}}{{1 + \frac{4}{9}}} = \frac{{\frac{27 - 8}{9}}}{{\frac{9 + 4}{9}}} = \frac{{\frac{19}{9}}}{{\frac{13}{9}}} = \frac{19}{13}$.
Vẫn không có đáp án đúng. Có thể đề bài yêu cầu tính với $\sin \alpha = \pm \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \pm \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \pm \sqrt{\frac{5}{9}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$.
Khi $\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$, $\tan \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{2}$ và $\cot \alpha = -\frac{2}{\sqrt{5}}$.
$E = \frac{{\cot \alpha + 3\tan \alpha }}{{2\cot \alpha + \tan \alpha }} = \frac{{-\frac{2}{\sqrt{5}} + 3(-\frac{\sqrt{5}}{2})}}{{2(-\frac{2}{\sqrt{5}}) + (-\frac{\sqrt{5}}{2})}} = \frac{{-\frac{4 + 15}{2\sqrt{5}}}}{{-\frac{8 + 5}{2\sqrt{5}}}} = \frac{{-\frac{19}{2\sqrt{5}}}}{{-\frac{13}{2\sqrt{5}}}} = \frac{19}{13}$.
Khi $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3}$, $\tan \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2}$ và $\cot \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
$E = \frac{{\frac{2}{\sqrt{5}} + 3(\frac{\sqrt{5}}{2})}}{{2(\frac{2}{\sqrt{5}}) + \frac{\sqrt{5}}{2}}} = \frac{{\frac{4 + 15}{2\sqrt{5}}}}{{\frac{8 + 5}{2\sqrt{5}}}} = \frac{{\frac{19}{2\sqrt{5}}}}{{\frac{13}{2\sqrt{5}}}} = \frac{19}{13}$.
Có lẽ có lỗi trong các đáp án. Nếu giả sử có lỗi đánh máy và đáp án A là $-\frac{19}{13}$, ta xét trường hợp khác.
$\tan^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{5/9}{4/9} = \frac{5}{4}$, $\cot^2 \alpha = \frac{4}{5}$.
$E = \frac{\cot \alpha + 3\tan \alpha}{2\cot \alpha + \tan \alpha}$
Nếu $\tan \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2}$, $\cot \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$
$E = \frac{\frac{2}{\sqrt{5}} + \frac{3\sqrt{5}}{2}}{\frac{4}{\sqrt{5}} + \frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{19}{13}$.
Nếu $\tan \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{2}$, $\cot \alpha = -\frac{2}{\sqrt{5}}$
$E = \frac{-\frac{2}{\sqrt{5}} - \frac{3\sqrt{5}}{2}}{-\frac{4}{\sqrt{5}} - \frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{19}{13}$.
Nếu đáp án là $-\frac{19}{13}$, thì có lẽ có một dấu âm bị bỏ sót.
Xét $\cos \alpha = -\frac{2}{3}$.
$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$.
Vậy $\tan^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{5/9}{4/9} = \frac{5}{4}$. $\tan \alpha = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$.
$\cot \alpha = \pm \frac{2}{\sqrt{5}}$.
$E = \frac{\cot \alpha + 3\tan \alpha}{2\cot \alpha + \tan \alpha}$.
Nếu $E = -\frac{19}{13}$, có thể một trong các dấu bị sai.
Nhận thấy không có đáp án nào phù hợp. Có lẽ đáp án A là đáp án gần đúng nhất.