Câu hỏi:

Vì ABCD là hình thoi có $\widehat{BAD} = 60^\circ$ và AB = AD = 1cm nên tam giác ABD là tam giác đều cạnh 1cm.
Ta có $\widehat{BAC} = \frac{\widehat{BAD}}{2} = 30^\circ$.
Xét tam giác ABC có AB = BC = 1cm, ta có:
$\widehat{ABC} = 180^\circ - \widehat{BAD} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$
Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC, ta có:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2.AB.BC.cos(\widehat{ABC})$
$AC^2 = 1^2 + 1^2 - 2.1.1.cos(120^\circ) = 1 + 1 - 2.(-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$
$\Rightarrow AC = \sqrt{3}$

Vì tam giác OAB vuông cân tại O và OA = a nên OA = OB = a và $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0$.

• Đáp án A: $\left| 3 \overrightarrow{OA} + 4 \overrightarrow{OB} \right| = \sqrt{(3 \overrightarrow{OA} + 4 \overrightarrow{OB})^2} = \sqrt{9OA^2 + 24 \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + 16OB^2} = \sqrt{9a^2 + 16a^2} = \sqrt{25a^2} = 5a$. Vậy A đúng.
• Đáp án B: $\left| 2 \overrightarrow{OA} \right| + \left| 3 \overrightarrow{OB} \right| = 2OA + 3OB = 2a + 3a = 5a$. Vậy B đúng.
• Đáp án C: $\left| 7 \overrightarrow{OA} - 2 \overrightarrow{OB} \right| = \sqrt{(7 \overrightarrow{OA} - 2 \overrightarrow{OB})^2} = \sqrt{49OA^2 - 28 \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + 4OB^2} = \sqrt{49a^2 + 4a^2} = \sqrt{53a^2} = a\sqrt{53} \neq 5a$. Vậy C sai.
• Đáp án D: $\left| 11 \overrightarrow{OA} \right| - \left| 6 \overrightarrow{OB} \right| = 11OA - 6OB = 11a - 6a = 5a$. Vậy D đúng.

Vậy khẳng định sai là D.

Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, suy ra $\left| \overrightarrow{AB} \right| = \left| \overrightarrow{AC} \right|$.
Vì H là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{HC} = -\overrightarrow{HB}$ và $\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{HC}$.
Tuy nhiên, $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ là hai vector cùng phương nhưng ngược chiều nên $\overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{AC}$.

Ta có: $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DN}$
$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{DN}$
$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{DC}$
$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AD} - \frac{2}{3}(\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{BD}) + \frac{2}{3}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD})$
$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow{AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow{BD} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC} - \frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$
$\overrightarrow{MN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} + \frac{2}{3}(\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{AC})$
$\overrightarrow{MN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} + \frac{2}{3}(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{AC} )$
$\overrightarrow{MN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$