Câu hỏi:

Vì tam giác OAB vuông cân tại O và OA = a nên OA = OB = a và $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0$.

• Đáp án A: $\left| 3 \overrightarrow{OA} + 4 \overrightarrow{OB} \right| = \sqrt{(3 \overrightarrow{OA} + 4 \overrightarrow{OB})^2} = \sqrt{9OA^2 + 24 \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + 16OB^2} = \sqrt{9a^2 + 16a^2} = \sqrt{25a^2} = 5a$. Vậy A đúng.
• Đáp án B: $\left| 2 \overrightarrow{OA} \right| + \left| 3 \overrightarrow{OB} \right| = 2OA + 3OB = 2a + 3a = 5a$. Vậy B đúng.
• Đáp án C: $\left| 7 \overrightarrow{OA} - 2 \overrightarrow{OB} \right| = \sqrt{(7 \overrightarrow{OA} - 2 \overrightarrow{OB})^2} = \sqrt{49OA^2 - 28 \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + 4OB^2} = \sqrt{49a^2 + 4a^2} = \sqrt{53a^2} = a\sqrt{53} \neq 5a$. Vậy C sai.
• Đáp án D: $\left| 11 \overrightarrow{OA} \right| - \left| 6 \overrightarrow{OB} \right| = 11OA - 6OB = 11a - 6a = 5a$. Vậy D đúng.

Vậy khẳng định sai là D.

Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, suy ra $\left| \overrightarrow{AB} \right| = \left| \overrightarrow{AC} \right|$.
Vì H là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{HC} = -\overrightarrow{HB}$ và $\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{HC}$.
Tuy nhiên, $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ là hai vector cùng phương nhưng ngược chiều nên $\overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{AC}$.

Ta có: $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DN}$
$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{DN}$
$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{DC}$
$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AD} - \frac{2}{3}(\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{BD}) + \frac{2}{3}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD})$
$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow{AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow{BD} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC} - \frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$
$\overrightarrow{MN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} + \frac{2}{3}(\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{AC})$
$\overrightarrow{MN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} + \frac{2}{3}(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{AC} )$
$\overrightarrow{MN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$

Ta có hình chữ nhật ABCD.
$\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BD}$
Mà theo tính chất hình bình hành (hình chữ nhật là một trường hợp đặc biệt), ta có $\overrightarrow{BD} = -\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{CB}$.
Vậy $\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB}$.

Ta có:

• $AB = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$
• $BC = \sqrt{3}$
• $CA = \sqrt{2}$

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC: $\cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})^2 + (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2}{2 \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\frac{6 - 2\sqrt{12} + 2}{4} + 2 - 3}{(\sqrt{6} - \sqrt{2})\sqrt{2}} = \frac{\frac{8 - 4\sqrt{3}}{4} - 1}{\sqrt{12} - 2} = \frac{2 - \sqrt{3} - 1}{2\sqrt{3} - 2} = \frac{1 - \sqrt{3}}{2(\sqrt{3} - 1)} = -\frac{1}{2}$
Suy ra $\widehat{BAC} = 120^\circ$.
Vì AD là đường phân giác của góc A nên $\widehat{BAD} = \frac{1}{2} \widehat{BAC} = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ$.
Ta có $\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC} = \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$
$\widehat{ADB} = 75^\circ$