Câu hỏi:

Gọi $M$ là trung điểm $BC$, ta có $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AM}$.
Vì $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên $AM$ là đường trung tuyến đồng thời là đường cao.
$AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Do đó, $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = |2\overrightarrow{AM}| = 2AM = 2.\frac{a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$.

Ta có M là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{MB} = -\overrightarrow{MC}$ và $\overrightarrow{MC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$.
Ta có: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AM} - \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$.

Gọi $A(a;0)$ và $B(0;b)$. Ta có $AB = 1$ nên $AB^2 = 1$.
$AB^2 = (a-0)^2 + (0-b)^2 = a^2 + b^2 = 1$.
Ta có góc $\widehat{xOy} = 30^\circ$. Sử dụng định lý hàm số cosin trong tam giác OAB, ta có:
$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2.OA.OB.cos(\widehat{xOy})$
$1 = a^2 + b^2 - 2ab.cos(30^\circ)$
$1 = a^2 + b^2 - 2ab.\frac{\sqrt{3}}{2}$
$1 = a^2 + b^2 - ab\sqrt{3}$
Mặt khác, ta có $OA^2 + OB^2 = a^2 + b^2 = 1$ nên $a^2 = 1 - b^2$.
$1 = 1 - ab\sqrt{3}$
$ab\sqrt{3} = 0$, điều này không đúng vì A và B là hai điểm di động.
Ta có $\widehat{AOB} > 0$ và $AB = 1$.
Áp dụng định lý sin:
$\frac{AB}{sin(\widehat{AOB})} = \frac{OB}{sin(\widehat{OAB})} = \frac{OA}{sin(\widehat{OBA})}$
$\frac{1}{sin(30^\circ)} = \frac{OB}{sin(\widehat{OAB})}$
$OB = \frac{sin(\widehat{OAB})}{sin(30^\circ)} = 2sin(\widehat{OAB})$
$OB$ lớn nhất khi $sin(\widehat{OAB}) = 1$, tức là $\widehat{OAB} = 90^\circ$.
Khi đó $OB = 2$.

Ta có K là trung điểm MN nên $\overrightarrow{AK} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AN})$
M là trung điểm AB nên $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.
$NC = 2NA$ suy ra $\overrightarrow{AN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$
Do đó $\overrightarrow{AK} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}) = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$

Ta có $\vec{u} \perp \vec{v}$ nên $\vec{u} . \vec{v} = 0$.
Suy ra $(\frac{2}{5}\vec{a} - 3\vec{b}).(\vec{a} + \vec{b}) = 0$
$\Leftrightarrow \frac{2}{5}\vec{a}^2 + \frac{2}{5}\vec{a}.\vec{b} - 3\vec{a}.\vec{b} - 3\vec{b}^2 = 0$
$\Leftrightarrow \frac{2}{5}|\vec{a}|^2 - \frac{13}{5}\vec{a}.\vec{b} - 3|\vec{b}|^2 = 0$
$\Leftrightarrow \frac{2}{5} - \frac{13}{5}|\vec{a}||\vec{b}|cos\alpha - 3 = 0$
$\Leftrightarrow \frac{2}{5} - \frac{13}{5}cos\alpha - 3 = 0$
$\Leftrightarrow \frac{13}{5}cos\alpha = \frac{2}{5} - 3 = -\frac{13}{5}$
$\Leftrightarrow cos\alpha = -1$
$\Leftrightarrow \alpha = 180^0$.
Vậy góc giữa hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là $180^0$.