Câu hỏi:

Khai triển phương trình hai mặt cầu và trừ vế theo vế, ta được phương trình mặt phẳng \((P)\): \(x y + 2z 8 = 0\).

Vectơ chỉ phương của \(d\) là \(\vec{u} = (1; -1; 2)\), trùng với vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_P\) của \((P)\). Vậy \(d \perp (P)\).

Giao điểm \(K\) của \(d\) và \((P)\) là \(K(2; -6; 0)\). Khoảng cách từ \(M\) đến \(d\) ngắn nhất khi \(M\) là hình chiếu của \(K\) lên đường tròn \((C)\).

Tâm đường tròn \((C)\) là hình chiếu \(H\) của \(J(3; -1; 5)\) lên \((P)\). Tính toán được \(H(2; 0; 3)\).

Bán kính đường tròn \((C)\) là \(r = \sqrt{R'^2 d^2(J, (P))} = \sqrt{11 6} = \sqrt{5}\).

Ta có \(\overrightarrow{HK} = (0; -6; -3) \Rightarrow HK = 3\sqrt{5}\).

Vì \(HM = r = \sqrt{5}\) và \(M\) gần \(K\) nhất nên \(\overrightarrow{HM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{HK}\).

Suy ra \(M(2; -2; 2)\).

\(T = a^2 + b^2 + c^2 = 2^2 + (-2)^2 + 2^2 = 12\).

Đáp án đúng là 12.

Gọi hàm chi phí vật liệu trung bình trên một giờ sản xuất là \(f(x) = \frac{C(x)}{T(x)} = \frac{x^2 + 108}{x + 6}, x > 0\).

Ta có \(f'(x) = \frac{x^2 + 12x - 108}{(x + 6)^2} = 0 \left[\begin{array}{l}x=-18(L) \\x=6\end{array}\right.\).

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy \(f(x)\) đạt GTNN bằng 12 khi \(x = 6\).

Đáp án đúng là 6.

- Tổng số sách: 7 cuốn khác nhau (có tính thứ tự).

- Số ngăn: 3 ngăn (đều có ít nhất 1 cuốn).

- Biến cố A: Có đúng một ngăn chứa nhiều sách hơn các ngăn còn lại.

- Biến cố B: Sách Toán nằm ở ngăn có nhiều sách nhất đó.

- Yêu cầu: Tính xác suất có điều kiện \(P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\). Trong bài toán đếm, ta tính bằng tỉ số số cách chọn thuận lợi: \(\frac{n(A \cap B)}{n(A)}\).

Phân tích các bộ số (số lượng sách ở mỗi ngăn) sao cho tổng bằng 7 và mỗi ngăn \(\geq 1\):

Các bộ số có thể là:

- (5; 1; 1): Có 1 ngăn nhiều nhất (5 sách). Thỏa mãn biến cố A.

- (4; 2; 1): Có 1 ngăn nhiều nhất (4 sách). Thỏa mãn biến cố A.

- (3; 3; 1): Có 2 ngăn nhiều nhất (3 sách). Không thỏa mãn biến cố A.

- (3; 2; 2): Có 1 ngăn nhiều nhất (3 sách). Thỏa mãn biến cố A.

Tính số cách xếp cho biến cố A:

- Trường hợp (5, 1, 1):

  + Chọn ngăn có 5 sách: \(3\) cách.

  + Hoán vị 7 sách: \(7!\) cách.

  => Số cách: \(3 \times 7! = 15\,120\).

- Trường hợp (4, 2, 1):

  + Hoán vị bộ số (4, 2, 1): \(3! = 6\) cách.

  + Hoán vị 7 sách: \(7!\) cách.

  => Số cách: \(6 \times 7! = 30\,240\).

- Trường hợp (3, 2, 2):

  + Chọn ngăn có 3 sách: \(3\) cách.

  + Hoán vị 7 sách: \(7!\) cách.

  => Số cách: \(3 \times 7! = 15\,120\).

=> \(n(A) = 15\,120 + 30\,240 + 15\,120 = 60\,480\).

Tính số cách xếp cho biến cố \(A \cap B\) (Sách Toán nằm ở ngăn nhiều nhất):

- Trường hợp (5, 1, 1): Xác suất sách Toán rơi vào ngăn 5 sách là \(\frac{5}{7}\).

  Số cách: \(\frac{5}{7} \times 15\,120 = 10\,800\).

- Trường hợp (4, 2, 1): Xác suất sách Toán rơi vào ngăn 4 sách là \(\frac{4}{7}\).

  Số cách: \(\frac{4}{7} \times 30\,240 = 17\,280\).

- Trường hợp (3, 2, 2): Xác suất sách Toán rơi vào ngăn 3 sách là \(\frac{3}{7}\).

  Số cách: \(\frac{3}{7} \times 15\,120 = 6\,480\).

=> \(n(A \cap B) = 10\,800 + 17\,280 + 6\,480 = 34\,560\).

Tính xác suất \(P(B \mid A)\):

\(P(B \mid A) = \frac{34\,560}{60\,480} = \frac{4}{7} \approx 0,57\)

Đáp án đúng là 0,57.

Ta có \(\lim_{x \to \pm \infty} y = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x - 1}{-x + 1} = \frac{2}{-1} = -2\).

Vậy đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số có phương trình là \(y = -2\).

Đáp án đúng là D.

Họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \cos x + 2e^x\) là \(\int f(x) \, dx = \int (\cos x + 2e^x) \, dx = \sin x + 2e^x + C\).

Đáp án đúng là C.