Câu hỏi:

Chọn gốc tọa độ tại tâm \(O\) của hình vuông \(ABCD\). Khi đó các đỉnh của đáy dưới là:

  \(C(5; -5; 0), D(5; 5; 0), B(-5; -5; 0), A(-5; 5; 0)\).

Đáy trên \(MNPQ\) có tâm \(O'(0; 0; h)\) và cạnh bằng 5. Tọa độ các đỉnh đáy trên là:

  \(Q(2,5; 2,5; h), P(2,5; -2,5; h)\).

Ta có các vectơ: \(\overrightarrow{CD} = (0; 10; 0)\) và \(\overrightarrow{CQ} = (-2,5; 7,5; h)\).

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((CDQP)\) là:

  \(\vec{n} = [\overrightarrow{CD}, \overrightarrow{CQ}] = (10h; 0; 25) = 5(2h; 0; 5)\).

Phương trình mặt phẳng \((CDQP)\) đi qua \(C(5; -5; 0)\):

  \(2h(x - 5) + 0(y + 5) + 5(z - 0) = 0 \Leftrightarrow 2hx + 5z - 10h = 0\).

- Khoảng cách từ \(B(-5; -5; 0)\) đến mặt phẳng \((CDQP)\) là:

  \(d(B, (CDQP)) = \frac{|2h(-5) + 5(0) - 10h|}{\sqrt{(2h)^2 + 5^2}} = \frac{|-20h|}{\sqrt{4h^2 + 25}}\).

Theo đề bài, khoảng cách này bằng \(3\sqrt{10}\):

  \(\frac{20h}{\sqrt{4h^2 + 25}} = 3\sqrt{10} \Rightarrow \frac{400h^2}{4h^2 + 25} = 90\)

  \(\Rightarrow 400h^2 = 360h^2 + 2 250 \Rightarrow 40h^2 = 2 250\)

  \(\Rightarrow h^2 = 56,25 \Rightarrow h = 7,5\) (cm).

Thể tích khối lăng trụ thủy tinh:

      \(V_{lt} = 100 \times 7,5 = 750\) (cm³).

Thể tích khối chóp cụt nhựa đặc:

      \(V_{cc} = \frac{7,5}{3} \times (100 + 25 + \sqrt{100 \times 25}) = 437,5\) (cm³).

Thể tích chất lỏng:

      \(V = V_{lt} - V_{cc} = 750 - 437,5 = 312,5\) (cm³).

Đổi đơn vị sang lít (1 lít = 1 000 cm³):

      \(V = \frac{312,5}{1 000} = \frac{5}{16}\) (lít).

Ta có \(a = 5, b = 16\) (phân số \(\frac{5}{16}\) đã tối giản).

Vậy \(a + b = 5 + 16 = 21\).

Đáp án đúng là 21.

Chọn gốc tọa độ tại \(B(0; 0)\).

Điểm \(A\) nằm trên trục \(Oy\): \(A(0; 50)\).

Điểm \(C\) nằm trên trục \(Ox\): \(C(150; 0)\).

Điểm \(D\) có tọa độ: \(D(150; 50)\).

Đường thẳng \(BD\) đi qua \(B(0; 0)\) và \(D(150; 50)\) có phương trình: \(y = \frac{50}{150}x = \frac{1}{3}x \implies x = 3y\).

Vì \(M\) thuộc \(BD\), gọi tọa độ \(M\) là \((3m; m)\) với \(0 \le m \le 50\).

Gọi giá thi công mỗi mét đường \(MC\) là \(k\) (\(k > 0\)).

Giá thi công mỗi mét đường \(AM\) là \(2k\).

Tổng chi phí \(T = 2k \cdot AM + k \cdot MC = k(2 \cdot AM + MC)\).

Để \(T\) nhỏ nhất, ta tối thiểu hóa hàm số:

\(f(m) = 2\sqrt{(3m - 0)^2 + (m - 50)^2} + \sqrt{(3m - 150)^2 + (m - 0)^2}\)

\(f(m) = 2\sqrt{10m^2 - 100m + 2500} + \sqrt{10m^2 - 900m + 22500}\)

Đạo hàm \(f'(m) = 0\):

 \(f'(m) = \frac{2(20m - 100)}{2\sqrt{10m^2 - 100m + 2500}} + \frac{20m - 900}{2\sqrt{10m^2 - 900m + 22500}} = 0\)

Giải phương trình trên, ta thu được: \(m \approx 12,65\).

\(BM = \sqrt{(3m)^2 + m^2} = \sqrt{10m^2} = m\sqrt{10}\)

\(BM \approx 12,65 \cdot \sqrt{10} \approx 40\) (mét).

Đáp án đúng là 40.

Hàm tốc độ: \(k(t) = at^3 + bt^2 + 5\).

Tại \(t = 5\), tốc độ bằng 0: \(k(5) = 125a + 25b + 5 = 0 \implies 25a + 5b = -1\) (1).

Tại \(t = 5\), đạo hàm bằng 0: \(k'(t) = 3at^2 + 2bt\).

     \(k'(5) = 75a + 10b = 0 \implies 15a + 2b = 0\) (2).

Giải hệ (1) và (2), ta được: \(a = \frac{2}{25} = 0,08\) và \(b = -\frac{3}{5} = -0,6\).

Vậy \(k(t) = \frac{2}{25}t^3 - \frac{3}{5}t^2 + 5\).

\(R_A = \int_{0}^{5} (-t^3 + 4t^2 + 3) dt = \left[ -\frac{t^4}{4} + \frac{4t^3}{3} + 3t \right]_0^5\)

\(R_A = -\frac{625}{4} + \frac{500}{3} + 15 = \frac{-1875 + 2000 + 180}{12} = \frac{305}{12} \approx 25,4167\).

\(R_B = \int_{0}^{5} (\frac{2}{25}t^3 - \frac{3}{5}t^2 + 5) dt = \left[ \frac{t^4}{50} - \frac{t^3}{5} + 5t \right]_0^5\)

\(R_B = \frac{625}{50} - \frac{125}{5} + 25 = \frac{25}{2} - 25 + 25 = 12,5\).

Tỉ số = \(\frac{R_A}{R_B} = \frac{305}{12} : 12,5 = \frac{305}{12 \cdot 12,5} = \frac{305}{150} = \frac{61}{30} \approx 2,0333\).

Vậy sau 5 tháng, tổng doanh thu dự án \(A\) gấp khoảng 2,03 lần dự án \(B\).

Đáp án đúng là 2,03.

Khai triển phương trình hai mặt cầu và trừ vế theo vế, ta được phương trình mặt phẳng \((P)\): \(x y + 2z 8 = 0\).

Vectơ chỉ phương của \(d\) là \(\vec{u} = (1; -1; 2)\), trùng với vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_P\) của \((P)\). Vậy \(d \perp (P)\).

Giao điểm \(K\) của \(d\) và \((P)\) là \(K(2; -6; 0)\). Khoảng cách từ \(M\) đến \(d\) ngắn nhất khi \(M\) là hình chiếu của \(K\) lên đường tròn \((C)\).

Tâm đường tròn \((C)\) là hình chiếu \(H\) của \(J(3; -1; 5)\) lên \((P)\). Tính toán được \(H(2; 0; 3)\).

Bán kính đường tròn \((C)\) là \(r = \sqrt{R'^2 d^2(J, (P))} = \sqrt{11 6} = \sqrt{5}\).

Ta có \(\overrightarrow{HK} = (0; -6; -3) \Rightarrow HK = 3\sqrt{5}\).

Vì \(HM = r = \sqrt{5}\) và \(M\) gần \(K\) nhất nên \(\overrightarrow{HM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{HK}\).

Suy ra \(M(2; -2; 2)\).

\(T = a^2 + b^2 + c^2 = 2^2 + (-2)^2 + 2^2 = 12\).

Đáp án đúng là 12.

Gọi hàm chi phí vật liệu trung bình trên một giờ sản xuất là \(f(x) = \frac{C(x)}{T(x)} = \frac{x^2 + 108}{x + 6}, x > 0\).

Ta có \(f'(x) = \frac{x^2 + 12x - 108}{(x + 6)^2} = 0 \left[\begin{array}{l}x=-18(L) \\x=6\end{array}\right.\).

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy \(f(x)\) đạt GTNN bằng 12 khi \(x = 6\).

Đáp án đúng là 6.