Câu hỏi:

a) Quan sát phương trình đường thẳng \(d\):

Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\vec{u}_d = (1; -1; 2)\).

Phát biểu ghi vectơ \(\vec{u} = (1; 1; 2)\) là sai dấu ở tung độ.

Đáp án đúng là Sai.

b) Phương trình mặt cầu tâm \(A(a; b; c)\) và bán kính \(R\) có dạng:

\((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2\).

Thay \(A(0; 1; 3)\) và \(R = 5\), ta được:

\((x - 0)^2 + (y - 1)^2 + (z - 3)^2 = 5^2 \Leftrightarrow x^2 + (y - 1)^2 + (z - 3)^2 = 25\).

Đáp án đúng là Đúng.

c) Thực hiện tính toán tọa độ điểm \(H\):

Đường thẳng \(d\) có phương trình tham số: \(\begin{cases} x = 1 + t \\ y = -t \\ z = 2t \end{cases}\).

Vì \(H \in d\) nên \(H(1 + t; -t; 2t)\). Ta có \(\overrightarrow{AH} = (1 + t; -t - 1; 2t - 3)\).

Vì \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên \(d\) nên \(\overrightarrow{AH} \cdot \vec{u}_d = 0\):

\(1(1 + t) - 1(-t - 1) + 2(2t - 3) = 0\)

\(\Leftrightarrow 1 + t + t + 1 + 4t - 6 = 0 \Leftrightarrow 6t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{2}{3}\).

Hoành độ điểm \(H\) là \(x_H = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}\).

Phát biểu ghi hoành độ bằng \(-\frac{2}{3}\) là sai.

Đáp án đúng là Sai.

d) Thực hiện tính toán độ dài đoạn đường:

Khoảng cách từ \(A\) đến đường thẳng \(d\) là độ dài đoạn \(AH\).

Với \(t = \frac{2}{3}\), ta có \(\overrightarrow{AH} = (\frac{5}{3}; -\frac{5}{3}; -\frac{5}{3})\).

\(h = AH = \sqrt{(\frac{5}{3})^2 + (-\frac{5}{3})^2 + (-\frac{5}{3})^2} = \sqrt{\frac{75}{9}} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \approx 2,89\,\text{km}\).

Vì \(h < R\) (\(2,89 < 5\)) nên đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm \(M, N\).

Độ dài đoạn đường nằm trong vùng phủ sóng là:

\(MN = 2\sqrt{R^2 - h^2} = 2\sqrt{5^2 - (\frac{5\sqrt{3}}{3})^2} = 2\sqrt{25 - \frac{25}{3}} = 2\sqrt{\frac{50}{3}} = \frac{20\sqrt{6}}{3} \approx 8,16\,\text{km}\).

Đáp án đúng là Đúng.

Gọi các biến cố:

- \(A\): "Ông Cường nghe được chuông báo thức". Ta có \(P(A) = 0,95\).

- \(\overline{A}\): "Ông Cường không nghe được chuông báo thức".

- \(B\): "Ông Cường đến đúng giờ".

- \(\overline{B}\): "Ông Cường đến trễ hẹn".

a) Xác suất ông Cường không nghe được chuông báo thức là:

\(P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,95 = 0,05\).

Đáp án đúng là Đúng.

b) Nếu ông Cường nghe được chuông báo thức, xác suất ông ấy đến đúng giờ là \(P(B|A) = 0,9\).

Xác suất ông ấy đến trễ khi nghe được chuông là:

\(P(\overline{B}|A) = 1 - P(B|A) = 1 - 0,9 = 0,1\).

Đáp án đúng là Đúng.

c) Nếu ông Cường không nghe được chuông báo thức, xác suất ông ấy đến đúng giờ là \(P(B|\overline{A}) = 0,7\).

Xác suất ông ấy đến trễ khi không nghe được chuông là:

\(P(\overline{B}|\overline{A}) = 1 - P(B|\overline{A}) = 1 - 0,7 = 0,3\).

Đổi ra phần trăm là \(30\%\). Phát biểu ghi \(25\%\) là sai.

Đáp án đúng là Sai.

d) Xác suất ông Cường đến đúng giờ được tính theo công thức xác suất đầy đủ:

\(P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(\overline{A}) \cdot P(B|\overline{A})\)

\(P(B) = 0,95 \cdot 0,9 + 0,05 \cdot 0,7\)

\(P(B) = 0,855 + 0,035 = 0,89\).

Đổi ra phần trăm là \(89\%\). Vì \(89\% < 92\%\) nên phát biểu "lớn hơn 92%" là sai.

Đáp án đúng là Sai.

Chọn gốc tọa độ tại tâm \(O\) của hình vuông \(ABCD\). Khi đó các đỉnh của đáy dưới là:

  \(C(5; -5; 0), D(5; 5; 0), B(-5; -5; 0), A(-5; 5; 0)\).

Đáy trên \(MNPQ\) có tâm \(O'(0; 0; h)\) và cạnh bằng 5. Tọa độ các đỉnh đáy trên là:

  \(Q(2,5; 2,5; h), P(2,5; -2,5; h)\).

Ta có các vectơ: \(\overrightarrow{CD} = (0; 10; 0)\) và \(\overrightarrow{CQ} = (-2,5; 7,5; h)\).

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((CDQP)\) là:

  \(\vec{n} = [\overrightarrow{CD}, \overrightarrow{CQ}] = (10h; 0; 25) = 5(2h; 0; 5)\).

Phương trình mặt phẳng \((CDQP)\) đi qua \(C(5; -5; 0)\):

  \(2h(x - 5) + 0(y + 5) + 5(z - 0) = 0 \Leftrightarrow 2hx + 5z - 10h = 0\).

- Khoảng cách từ \(B(-5; -5; 0)\) đến mặt phẳng \((CDQP)\) là:

  \(d(B, (CDQP)) = \frac{|2h(-5) + 5(0) - 10h|}{\sqrt{(2h)^2 + 5^2}} = \frac{|-20h|}{\sqrt{4h^2 + 25}}\).

Theo đề bài, khoảng cách này bằng \(3\sqrt{10}\):

  \(\frac{20h}{\sqrt{4h^2 + 25}} = 3\sqrt{10} \Rightarrow \frac{400h^2}{4h^2 + 25} = 90\)

  \(\Rightarrow 400h^2 = 360h^2 + 2 250 \Rightarrow 40h^2 = 2 250\)

  \(\Rightarrow h^2 = 56,25 \Rightarrow h = 7,5\) (cm).

Thể tích khối lăng trụ thủy tinh:

      \(V_{lt} = 100 \times 7,5 = 750\) (cm³).

Thể tích khối chóp cụt nhựa đặc:

      \(V_{cc} = \frac{7,5}{3} \times (100 + 25 + \sqrt{100 \times 25}) = 437,5\) (cm³).

Thể tích chất lỏng:

      \(V = V_{lt} - V_{cc} = 750 - 437,5 = 312,5\) (cm³).

Đổi đơn vị sang lít (1 lít = 1 000 cm³):

      \(V = \frac{312,5}{1 000} = \frac{5}{16}\) (lít).

Ta có \(a = 5, b = 16\) (phân số \(\frac{5}{16}\) đã tối giản).

Vậy \(a + b = 5 + 16 = 21\).

Đáp án đúng là 21.

Chọn gốc tọa độ tại \(B(0; 0)\).

Điểm \(A\) nằm trên trục \(Oy\): \(A(0; 50)\).

Điểm \(C\) nằm trên trục \(Ox\): \(C(150; 0)\).

Điểm \(D\) có tọa độ: \(D(150; 50)\).

Đường thẳng \(BD\) đi qua \(B(0; 0)\) và \(D(150; 50)\) có phương trình: \(y = \frac{50}{150}x = \frac{1}{3}x \implies x = 3y\).

Vì \(M\) thuộc \(BD\), gọi tọa độ \(M\) là \((3m; m)\) với \(0 \le m \le 50\).

Gọi giá thi công mỗi mét đường \(MC\) là \(k\) (\(k > 0\)).

Giá thi công mỗi mét đường \(AM\) là \(2k\).

Tổng chi phí \(T = 2k \cdot AM + k \cdot MC = k(2 \cdot AM + MC)\).

Để \(T\) nhỏ nhất, ta tối thiểu hóa hàm số:

\(f(m) = 2\sqrt{(3m - 0)^2 + (m - 50)^2} + \sqrt{(3m - 150)^2 + (m - 0)^2}\)

\(f(m) = 2\sqrt{10m^2 - 100m + 2500} + \sqrt{10m^2 - 900m + 22500}\)

Đạo hàm \(f'(m) = 0\):

 \(f'(m) = \frac{2(20m - 100)}{2\sqrt{10m^2 - 100m + 2500}} + \frac{20m - 900}{2\sqrt{10m^2 - 900m + 22500}} = 0\)

Giải phương trình trên, ta thu được: \(m \approx 12,65\).

\(BM = \sqrt{(3m)^2 + m^2} = \sqrt{10m^2} = m\sqrt{10}\)

\(BM \approx 12,65 \cdot \sqrt{10} \approx 40\) (mét).

Đáp án đúng là 40.

Hàm tốc độ: \(k(t) = at^3 + bt^2 + 5\).

Tại \(t = 5\), tốc độ bằng 0: \(k(5) = 125a + 25b + 5 = 0 \implies 25a + 5b = -1\) (1).

Tại \(t = 5\), đạo hàm bằng 0: \(k'(t) = 3at^2 + 2bt\).

     \(k'(5) = 75a + 10b = 0 \implies 15a + 2b = 0\) (2).

Giải hệ (1) và (2), ta được: \(a = \frac{2}{25} = 0,08\) và \(b = -\frac{3}{5} = -0,6\).

Vậy \(k(t) = \frac{2}{25}t^3 - \frac{3}{5}t^2 + 5\).

\(R_A = \int_{0}^{5} (-t^3 + 4t^2 + 3) dt = \left[ -\frac{t^4}{4} + \frac{4t^3}{3} + 3t \right]_0^5\)

\(R_A = -\frac{625}{4} + \frac{500}{3} + 15 = \frac{-1875 + 2000 + 180}{12} = \frac{305}{12} \approx 25,4167\).

\(R_B = \int_{0}^{5} (\frac{2}{25}t^3 - \frac{3}{5}t^2 + 5) dt = \left[ \frac{t^4}{50} - \frac{t^3}{5} + 5t \right]_0^5\)

\(R_B = \frac{625}{50} - \frac{125}{5} + 25 = \frac{25}{2} - 25 + 25 = 12,5\).

Tỉ số = \(\frac{R_A}{R_B} = \frac{305}{12} : 12,5 = \frac{305}{12 \cdot 12,5} = \frac{305}{150} = \frac{61}{30} \approx 2,0333\).

Vậy sau 5 tháng, tổng doanh thu dự án \(A\) gấp khoảng 2,03 lần dự án \(B\).

Đáp án đúng là 2,03.