Câu hỏi:

Hình chiếu của điểm \(A(2; -1; 1)\) lên trục tung là điểm \(H(0; -1; 0)\).

Đáp án đúng là B.

a) Để tìm tiệm cận ngang của hàm số bậc nhất trên bậc nhất, ta xét giới hạn:

\(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x + 3}{x - 1} = 2\).

Do đó, đường thẳng \(y = 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Đáp án đúng là Đúng.

b) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{ax + b}{cx + d}\) là giao điểm của hai đường tiệm cận.

- Tiệm cận đứng: \(x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

- Tiệm cận ngang: \(y = 2\).

Vậy tâm đối xứng của đồ thị (C) là điểm \(I(1; 2)\). Phát biểu ghi \(I(2; 3)\) là sai.

Đáp án đúng là Sai.

c) Giao điểm của (C) với trục \(Oy\) là điểm \(M(0; -3)\).

Tính đạo hàm của hàm số: \(y' = \frac{2(x - 1) - (2x + 3)}{(x - 1)^2} = \frac{-5}{(x - 1)^2}\).

Hệ số góc của tiếp tuyến tại \(x = 0\) là: \(k = y'(0) = \frac{-5}{(0 - 1)^2} = -5\).

Phương trình tiếp tuyến tại \(M(0; -3)\) là: \(y = -5(x - 0) - 3 \Leftrightarrow y = -5x - 3\).

Đáp án đúng là Đúng.

d) Gọi điểm \(M(x_0; y_0) \in (C)\) với \(y_0 = \frac{2x_0 + 3}{x_0 - 1} = 2 + \frac{5}{x_0 - 1}\).

- Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng \(\Delta_1: x - 1 = 0\) là: \(d_1 = |x_0 - 1|\).

- Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang \(\Delta_2: y - 2 = 0\) là: \(d_2 = |y_0 - 2| = \left| \frac{5}{x_0 - 1} \right|\).

Tích hai khoảng cách là: \(d_1 \cdot d_2 = |x_0 - 1| \cdot \frac{5}{|x_0 - 1|} = 5\).

Phát biểu ghi tích khoảng cách bằng 3 là sai.

Đáp án đúng là Sai.

a) Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a, x = b\) là \(S = \int_a^b |f(x)| dx\).

Với (H), ta có \(a = 0, b = 9\) và \(f(x) = \sqrt{x}\). Do \(\sqrt{x} \geq 0\) trên \([0; 9]\) nên \(S = \int_0^9 \sqrt{x} \, dx\).

Đáp án đúng là Đúng.

b) Thể tích khối tròn xoay khi quay (H) quanh trục Ox là:

\(V = \pi \int_0^9 (\sqrt{x})^2 \, dx = \pi \int_0^9 x \, dx = \pi \left. \left( \frac{x^2}{2} \right) \right|_0^9 = \frac{81\pi}{2}\).

Đáp án đúng là Đúng.

c) Diện tích \(S_1\) được tính bởi:

\(S_1 = \int_0^m \sqrt{x} \, dx = \left. \left( \frac{2}{3}x\sqrt{x} \right) \right|_0^m\).

Phát biểu ghi nguyên hàm là \(\frac{3}{2}x\sqrt{x}\) là sai (hệ số đúng phải là \(\frac{2}{3}\)).

Đáp án đúng là Sai.

d) Trước hết, tính \(S = S_1\) tại \(m = 9\):

\(S = \frac{2}{3} \cdot 9 \cdot \sqrt{9} = \frac{2}{3} \cdot 27 = 18\).

Theo đề bài \(S = 8S_1 \Rightarrow 18 = 8 \cdot \left( \frac{2}{3}m\sqrt{m} \right) \Rightarrow 18 = \frac{16}{3}m\sqrt{m}\).

\(\Rightarrow m\sqrt{m} = \frac{54}{16} = \frac{27}{8} \Rightarrow m\sqrt{m} = \left( \frac{3}{2} \right)^3 \Rightarrow m = \left( \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{9}{4}\).

Tọa độ điểm M có hoành độ \(m = \frac{9}{4}\).

Với \(a = 9, b = 4\) (phân số tối giản), ta có \(ab = 9 \times 4 = 36\). Phát biểu ghi \(ab = 24\) là sai.

Đáp án đúng là Sai.

a) Đơn vị trên các trục tọa độ là mét (m), trong khi bán kính phủ sáng cho là 40 km = 40 000 m.

Phương trình mặt cầu ranh giới phải là: \((x - 17)^2 + (y - 20)^2 + (z - 45)^2 = 40\,000^2\).

Phát biểu ghi bán kính là 40 (tương ứng 40 m) là sai đơn vị.

Đáp án đúng là Sai.

b) Khoảng cách từ người đi biển tại \(M(18; 21; 50)\) đến hải đăng \(I(17; 20; 45)\) là:

\(IM = \sqrt{(18-17)^2 + (21-20)^2 + (50-45)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 5^2} = \sqrt{27} \approx 5,2\) (m).

Vì \(5,2 \text{ m} < 40\,000 \text{ m}\) nên người này nằm rất gần hải đăng và hoàn toàn nhìn thấy ánh sáng. Phát biểu nói không thể nhìn thấy là sai.

Đáp án đúng là Sai.

c) Vùng phủ sáng là một khối cầu bán kính \(R = 40\) km. Khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm bất kỳ trong khối cầu này chính là đường kính của khối cầu.

\(d_{max} = 2R = 2 \times 40 = 80\) (km).

Vậy khoảng cách giữa hai người không quá 80 km là đúng.

Đáp án đúng là Đúng.

d) Phân tích chuyển động của máy bay:

- Sau 40 phút (từ lúc ở M), máy bay đến Q. Vectơ dịch chuyển \(\overrightarrow{MQ} = (400; 200; 20\,000)\).

- Thời điểm 30 phút (điểm N) tương ứng với \(\frac{3}{4}\) quãng đường từ M đến Q.

Tọa độ điểm N: \(\overrightarrow{ON} = \overrightarrow{OM} + \frac{3}{4}\overrightarrow{MQ} = (1000; 600; 140\,000) + (300; 150; 15\,000) = (1300; 750; 155\,000)\).

- Bán kính ra đa: \(R_{radar} = 4 \times 40 = 160\) km = 160 000 m.

- Khoảng cách từ I đến N:

\(IN = \sqrt{(1300-17)^2 + (750-20)^2 + (155\,000-45)^2} \approx \sqrt{154\,955^2} \approx 154\,955\) (m).

Vì \(154\,955 \text{ m} < 160\,000 \text{ m}\) nên tại vị trí N, máy bay vẫn nằm trong vùng quét của ra đa.

Đáp án đúng là Đúng.

Phân loại chi tiết số lượng bi trong hộp:

- Bi đỏ có đánh số: 50 × 60% = 30 (viên).

- Bi đỏ không đánh số: 50 - 30 = 20 (viên).

- Bi vàng có đánh số: 30 × 50% = 15 (viên).

- Bi vàng không đánh số: 30 - 15 = 15 (viên).

a) Xác suất chọn được viên bi màu đỏ là:

\(P = \frac{50}{80} = 0,625 = 62,5%\).

Đáp án đúng là Đúng.

b) Xác suất chọn được viên bi màu vàng có đánh số là:

\(P = \frac{15}{80} = 0,1875 = 18,75%\). Phát biểu ghi 81,25% là sai.

Đáp án đúng là Sai.

c) Tổng số viên bi không đánh số là: \(20 + 15 = 35\) (viên).

Xác suất chọn được viên bi không đánh số là:

\(P = \frac{35}{80} = 0,4375 = 43,75%\).

Đáp án đúng là Đúng.

d) Giả sử viên bi lấy ra chưa được đánh số (tổng cộng 35 viên):

- Xác suất là bi đỏ: \(P(\text{Đỏ}|\text{Chưa đánh số}) = \frac{20}{35} = \frac{4}{7}\).

- Xác suất là bi vàng: \(P(\text{Vàng}|\text{Chưa đánh số}) = \frac{15}{35} = \frac{3}{7}\).

Vì \(\frac{4}{7} > \frac{3}{7}\) nên xác suất là bi đỏ cao hơn xác suất là bi vàng. Phát biểu ghi thấp hơn là sai.

Đáp án đúng là Sai.