Cho hàm số \(y=\frac{x-1}{2x-3}\) \(\left( C \right)\).

a) Tiệm cận đứng của hàm số là \(x=\frac{3}{2}\).

b) Tọa độ giao điểm hai đường tiệm cận thuộc đường thẳng \(x-y-1=0\)

c) Đường thẳng \(2x+y-1=0\) cắt TCĐ, TCN của đồ thị hàm số tại các điểm \(A\) và diện tích của tam giác \(IAB\) bằng \(\frac{25}{4}\), với \(I\) là giao điểm hai đường tiệm cận.

d) Gọi \(I\) là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị hàm số. Khoảng cách từ \(I\) đến một tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất bằng \(\frac{1}{\sqrt{2}}\).

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Lời giải

Phương án 1:

Vì \(\underset{x\to {{(\frac{3}{2})}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-1}{2x-3}=+\infty \) nên tiệm cận đứng của hàm số là \(x=\frac{3}{2}\).

Phương án 2:

Hàm số có \(1\) tiệm cận đứng là \(x=\frac{3}{2}\) và \(1\) tiệm cận ngang là \(y=\frac{1}{2}\), nên tọa độ giao điểm hai đường tiệm cận là \(I\left( \frac{3}{2};\frac{1}{2} \right)\).

Rõ ràng \(I\) thuộc đường thẳng \(x-y-1=0\).

Phương án 3:

Tọa độ điểm \(A\): \({{x}_{A}}=\frac{3}{2}\Rightarrow {{y}_{A}}=-2\)

Suy ra \(A\left( \frac{3}{2};-2 \right)\)

Tọa độ điểm \(B\): \({{y}_{B}}=\frac{1}{2}\Rightarrow {{x}_{B}}=\frac{1}{4}\) suy ra \(B\left( \frac{1}{4};\frac{1}{2} \right)\)

\(\overrightarrow{IA}\left( 0;-\frac{5}{2} \right)\Rightarrow IA=\frac{5}{2}\); \(\overrightarrow{IB}\left( \frac{-5}{4};0 \right)\Rightarrow IB=\frac{5}{4}\);

\({{S}_{\Delta IAB}}=\frac{1}{2}IA.IB=\frac{1}{2}.\frac{5}{4}.\frac{5}{2}=\frac{25}{16}\)

Phương án 4:

Tọa độ giao điểm \(I\left( \frac{3}{2};\frac{1}{2} \right)\).

Gọi tọa độ tiếp điểm là \(\left( {{x}_{0}};\frac{{{x}_{0}}-1}{2{{x}_{0}}-3} \right)\).

Khi đó phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) với đồ thị hàm số tại điểm \(\left( {{x}_{0}};\frac{{{x}_{0}}-1}{2{{x}_{0}}-3} \right)\) là: \(y=-\frac{1}{{{\left( 2{{x}_{0}}-3 \right)}^{2}}}\left( x-{{x}_{0}} \right)+\frac{{{x}_{0}}-1}{2{{x}_{0}}-3}\)

\(\Leftrightarrow x+{{\left( 2{{x}_{0}}-3 \right)}^{2}}y-2x_{0}^{2}+4{{x}_{0}}-3=0\).

Khi đó:

\(\begin{align} & d\left( I,\Delta \right)=\frac{\left| \frac{3}{2}+\frac{1}{2}{{\left( 2{{x}_{0}}-3 \right)}^{2}}-2x_{0}^{2}+4{{x}_{0}}-3 \right|}{\sqrt{1+{{\left( 2{{x}_{0}}-3 \right)}^{4}}}} \\ & =\frac{\left| -2{{x}_{0}}+3 \right|}{\sqrt{1+{{\left( 2{{x}_{0}}-3 \right)}^{4}}}}\le \frac{\left| 2{{x}_{0}}-3 \right|}{\sqrt{2{{\left( 2{{x}_{0}}-3 \right)}^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{align}\)

(Theo bất đẳng thức Cô-si)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \({{\left( 2{{x}_{0}}-3 \right)}^{2}}=1\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 2{{x}_{0}}-3=1 \\ & 2{{x}_{0}}-3=-1 \\ \end{align} \right.\) \[\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}_{0}}=2 \\ & {{x}_{0}}=1 \\ \end{align} \right.\\)

Vậy \(\text{max}d\left( I,\Delta \right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\).