Trong nền kinh tế thị trường chức năng quan trọng của giá là:

Độ co giãn của cầu theo giá (Ep) = % thay đổi về lượng cầu / % thay đổi về giá. Trong trường hợp này, Ep = -0,5 và giá tăng 10%.

=> % thay đổi về lượng cầu = Ep * % thay đổi về giá = -0,5 * 10% = -5%.

Doanh thu = Giá * Lượng. Khi giá tăng 10% và lượng giảm 5%, doanh thu sẽ thay đổi như sau:

Gọi giá ban đầu là P và lượng ban đầu là Q. Doanh thu ban đầu là P*Q.
Giá mới là 1.1P và lượng mới là 0.95Q. Doanh thu mới là 1.1P * 0.95Q = 1.045PQ.

% thay đổi doanh thu = (Doanh thu mới - Doanh thu ban đầu) / Doanh thu ban đầu = (1.045PQ - PQ) / PQ = 0.045 = 4.5%.

Vậy doanh thu tăng lên 4,5%.

Để tìm mức lợi nhuận cực đại của doanh nghiệp độc quyền, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm hàm doanh thu (TR):
- Từ hàm cầu Q = 1000 - 2P, suy ra P = (1000 - Q) / 2 = 500 - 0.5Q
- TR = P * Q = (500 - 0.5Q) * Q = 500Q - 0.5Q^2

2. Tìm hàm chi phí biên (MC):
- TC = 2Q^2 + 200
- MC = d(TC)/dQ = 4Q

3. Tìm hàm doanh thu biên (MR):
- TR = 500Q - 0.5Q^2
- MR = d(TR)/dQ = 500 - Q

4. Tìm sản lượng tối ưu (Q*) bằng cách cho MR = MC:
- 500 - Q = 4Q
- 5Q = 500
- Q* = 100

5. Tìm giá tối ưu (P*) bằng cách thay Q* vào hàm cầu:
- P* = 500 - 0.5 * 100 = 500 - 50 = 450

6. Tính tổng doanh thu (TR) tại Q*:
- TR = P* * Q* = 450 * 100 = 45000

7. Tính tổng chi phí (TC) tại Q*:
- TC = 2 * (100)^2 + 200 = 2 * 10000 + 200 = 20200

8. Tính lợi nhuận (π):
- π = TR - TC = 45000 - 20200 = 24800

Vậy, mức lợi nhuận cực đại là 24.800.

Để giải bài toán này, ta cần tìm mức sản lượng Q mà tại đó lợi nhuận của doanh nghiệp là lớn nhất. Lợi nhuận được tính bằng doanh thu trừ đi tổng chi phí (∏ = TR - TC). Trong thị trường cạnh tranh hoàn toàn, doanh thu (TR) được tính bằng giá (P) nhân với sản lượng (Q), tức là TR = P*Q. Vì vậy, ta có thể viết hàm lợi nhuận như sau:

∏ = P*Q - TC

Trong trường hợp này, P = 500 và TC = 10Q^3 - 4Q^2 + 20Q + 500. Thay thế vào, ta có:

∏ = 500Q - (10Q^3 - 4Q^2 + 20Q + 500)
∏ = -10Q^3 + 4Q^2 + 480Q - 500

Để tìm mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận, ta cần tìm đạo hàm bậc nhất của hàm lợi nhuận theo Q, sau đó giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm Q*:

∂∏/∂Q = -30Q^2 + 8Q + 480 = 0

Giải phương trình bậc hai này để tìm ra Q*. Ta có thể sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai hoặc máy tính để giải. Nghiệm dương của phương trình này là Q ≈ 4.18.

Tiếp theo, thay Q* ≈ 4.18 vào hàm lợi nhuận để tính lợi nhuận tối đa:

∏ = -10*(4.18)^3 + 4*(4.18)^2 + 480*(4.18) - 500
∏ ≈ -10*(73.09) + 4*(17.47) + 2006.4 - 500
∏ ≈ -730.9 + 69.88 + 2006.4 - 500
∏ ≈ 845.38

Giá trị này gần nhất với đáp án ∏ = 846,18.