Doanh nghiệp trong thị trường cạnh tranh hoàn toàn có hàm chi phí sau: TC=10Q³-4Q²+20Q+500. Nếu giá thị trường Pe bằng 500  thì lợi nhuận cực đại của doanh nghiệp bằng bao nhiêu?

Để giải bài toán này, ta cần tìm mức sản lượng Q mà tại đó lợi nhuận của doanh nghiệp là lớn nhất. Lợi nhuận được tính bằng doanh thu trừ đi tổng chi phí (∏ = TR - TC). Trong thị trường cạnh tranh hoàn toàn, doanh thu (TR) được tính bằng giá (P) nhân với sản lượng (Q), tức là TR = P*Q. Vì vậy, ta có thể viết hàm lợi nhuận như sau: ∏ = P*Q - TC Trong trường hợp này, P = 500 và TC = 10Q^3 - 4Q^2 + 20Q + 500. Thay thế vào, ta có: ∏ = 500Q - (10Q^3 - 4Q^2 + 20Q + 500) ∏ = -10Q^3 + 4Q^2 + 480Q - 500 Để tìm mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận, ta cần tìm đạo hàm bậc nhất của hàm lợi nhuận theo Q, sau đó giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm Q*: ∂∏/∂Q = -30Q^2 + 8Q + 480 = 0 Giải phương trình bậc hai này để tìm ra Q*. Ta có thể sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai hoặc máy tính để giải. Nghiệm dương của phương trình này là Q ≈ 4.18. Tiếp theo, thay Q* ≈ 4.18 vào hàm lợi nhuận để tính lợi nhuận tối đa: ∏ = -10*(4.18)^3 + 4*(4.18)^2 + 480*(4.18) - 500 ∏ ≈ -10*(73.09) + 4*(17.47) + 2006.4 - 500 ∏ ≈ -730.9 + 69.88 + 2006.4 - 500 ∏ ≈ 845.38 Giá trị này gần nhất với đáp án ∏ = 846,18.