Khi \[x \to 0\], sắp xếp các VCB sau theo thứ tự bậc giảm dần:
\[\alpha \left( x \right) = \sin {x^2} - x\ln \left( {1 + x} \right),\beta \left( x \right)\frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}} + {x^2},\chi \left( x \right) = \sqrt[3]{{1 + 2x}} - {e^{2x}}\]
A.
\[\alpha \left( x \right),\beta \left( x \right),\chi \left( x \right)\]
B.
\[\beta \left( x \right),\alpha \left( x \right),\chi \left( x \right)\]
C.
\[\chi \left( x \right),\beta \left( x \right),\alpha \left( x \right)\]
D.
\[\chi \left( x \right),\alpha \left( x \right),\beta \left( x \right)\]
Trả lời:
Đáp án đúng: B
Để so sánh các VCB (vô cùng bé) khi x -> 0, ta cần tìm giới hạn của tỉ số giữa chúng hoặc khai triển Taylor của từng hàm để xác định bậc của chúng.
Xét \(\alpha(x) = \sin(x^2) - x\ln(1+x)\):
\(\sin(x^2) = x^2 - \frac{x^6}{3!} + O(x^{10})\)
\(\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - ...\)
\(x\ln(1+x) = x^2 - \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{3} - ...\)
Do đó, \(\alpha(x) = (x^2 - \frac{x^6}{3!} + ...) - (x^2 - \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{3} - ...) = \frac{x^3}{2} + O(x^4)\). Vậy \(\alpha(x)\) có bậc 3.
Xét \(\beta(x) = \frac{x^2}{x^2 - 1} + x^2\):
\(\beta(x) = x^2(\frac{1}{x^2 - 1} + 1) = x^2(\frac{1 + x^2 - 1}{x^2 - 1}) = \frac{x^4}{x^2 - 1}\)
Khi x -> 0, \(\beta(x) \approx \frac{x^4}{-1} = -x^4\). Vậy \(\beta(x)\) có bậc 4.
Xét \(\chi(x) = \sqrt[3]{1 + 2x} - e^{2x}\):
\((1+2x)^{\frac{1}{3}} = 1 + \frac{1}{3}(2x) + \frac{\frac{1}{3}(\frac{1}{3}-1)}{2!}(2x)^2 + ... = 1 + \frac{2x}{3} - \frac{4x^2}{9} + ...\)
\(e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + ... = 1 + 2x + 2x^2 + ...\)
\(\chi(x) = (1 + \frac{2x}{3} - \frac{4x^2}{9} + ...) - (1 + 2x + 2x^2 + ...) = -\frac{4x}{3} - \frac{22x^2}{9} + ...\)
Khi x -> 0, \(\chi(x) \approx -\frac{4x}{3}\). Vậy \(\chi(x)\) có bậc 1.
Vậy, khi x -> 0, bậc giảm dần là: \(\chi(x)\), \(\alpha(x)\), \(\beta(x)\).
