Hình 2.32 mô tả chu trình chuyển động của thang máy, gồm ba giai đoạn: nhanh dần đều, đều, chậm dần đều. Khối lượng của thang máy là 400kg. Tính định lực căng nhỏ nhất của dây cáp treo thang máy trong quá trình thang máy chuyển động không tải. 

Phân tích lực tác dụng lên vật: Trọng lực P hướng xuống, phản lực pháp tuyến N hướng vuông góc với mặt phẳng nghiêng, và có thể có lực ma sát nếu vật trượt trên mặt phẳng nghiêng.

Chọn hệ trục tọa độ Oxy, trong đó trục Oy vuông góc với mặt phẳng nghiêng và hướng lên trên, trục Ox nằm dọc theo mặt phẳng nghiêng và hướng xuống dưới.

Chiếu các lực lên trục Oy: N - Pcosα = 0 => N = Pcosα = mgcosα. Vậy phản lực pháp tuyến của mặt nghiêng tác dụng lên vật là N = mgcosα.

Động lượng của bóng trước khi va chạm vào tường: \(\overrightarrow{p_1} = m\overrightarrow{v_1}\)

Động lượng của bóng sau khi va chạm vào tường: \(\overrightarrow{p_2} = m\overrightarrow{v_2}\)

Xung lượng của lực mà tường tác dụng lên bóng bằng độ biến thiên động lượng của bóng:

\(\overrightarrow{F}\Delta t = \overrightarrow{p_2} - \overrightarrow{p_1} = m\overrightarrow{v_2} - m\overrightarrow{v_1} = m(\overrightarrow{v_2} - \overrightarrow{v_1})\)

Chọn chiều dương là chiều của vector \(\overrightarrow{v_2}\). Vì góc hợp bởi phương của vận tốc và tường là 30\(^o\), ta có:

\(F\Delta t = p_2 - (-p_1) = 2mv\cos(90^o - 30^o) = 2mv\sin(30^o)\)

\(F\Delta t = 2. 0,3. 10.\frac{1}{2} = 3\) kgm/s

Công thức tính khoảng cách từ tâm O đến khối tâm G của một bán khuyên có bán kính r là: OG = (2r) / π. Trong đó, π ≈ 3.14.

Áp dụng công thức với r = 6.28 cm, ta có: OG = (2 * 6.28) / 3.14 = 12.56 / 3.14 = 4 cm.

Vậy, khối tâm G của bán khuyên nằm trên trục đối xứng và cách tâm O một đoạn 4 cm.

Gọi khối lượng và vị trí của tâm khối cầu lớn là m1, x1 và của khối cầu nhỏ là m2, x2. Khối lượng của một vật thể đặc, đồng chất tỉ lệ với thể tích của nó. Vì vậy, ta có: m1 = (\rho\cdot V_1 = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3) và m2 = (\rho\cdot V_2 = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi (R/2)^3 = \frac{1}{8}m_1). Chọn gốc tọa độ tại tâm của khối cầu lớn (O), ta có x1 = 0 và x2 = R + r = R + R/2 = 3R/2. Vị trí khối tâm của hệ hai vật là: x_cm = (m1x1 + m2x2)/(m1 + m2) = (m10 + (1/8)m1(3R/2))/(m1 + (1/8)m1) = (3R/16)/(9/8) = (3R/16)*(8/9) = R/6. Vậy, khối tâm của vật thể này nằm trong đoạn OO’ và cách O một khoảng R/6.

Đổi vận tốc góc ban đầu và vận tốc góc lúc sau ra rad/s:
\(\omega_0 = 300 \frac{vong}{phut} = 300 \cdot \frac{2\pi}{60} = 10\pi \ rad/s\)
\(\omega = 180 \frac{vong}{phut} = 180 \cdot \frac{2\pi}{60} = 6\pi \ rad/s\)
Thời gian quay chậm dần đều là t = 1 phút = 60s.
Gia tốc góc được tính theo công thức:
\(\gamma = \frac{\omega - \omega_0}{t} = \frac{6\pi - 10\pi}{60} = \frac{-4\pi}{60} = -\frac{\pi}{15} \ rad/s^2\)