Hãy liệt kê quan hệ R trên tập hợp {1,2,3,4,5} biết ma trận biểu diễn như sau:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&0&0\\ 0&1&1&0&0\\ 0&1&1&0&1\\ 0&0&0&1&1\\ 0&0&1&1&1 \end{array}} \right]\)

Mệnh đề P → Q (P kéo theo Q) chỉ sai khi P đúng và Q sai. Trong tất cả các trường hợp còn lại, mệnh đề P → Q đúng. Do đó, đáp án chính xác là "Là một mệnh đề nhận chân trị đúng khi P sai hoặc cả P và Q cùng đúng. Nhận chân trị sai khi và chỉ khi P đúng Q sai".

Mệnh đề là một câu khẳng định có tính đúng hoặc sai.
- Phương án A: "2 + 2 < 3" là một mệnh đề sai.
- Phương án B: "3 * 2 = 6" là một mệnh đề đúng.
- Phương án C: "x + 1 = 2" không phải là mệnh đề, vì giá trị đúng sai của nó phụ thuộc vào giá trị của x. Đây là một biểu thức chứa biến.
- Phương án D: "3 - 1 > 2" là một mệnh đề sai.
Vậy, đáp án đúng là C.

Hiệu đối xứng của hai tập hợp A và B, ký hiệu là A ∆ B, là tập hợp chứa tất cả các phần tử thuộc A hoặc thuộc B nhưng không thuộc cả A và B. Nó có thể được biểu diễn bằng công thức: A ∆ B = (A − B) ∪ (B − A) = (A ∪ B) − (A ∩ B). Như vậy, đáp án chính xác là tập chứa tất cả các phần tử chỉ thuộc A hoặc chỉ thuộc B, không đồng thời thuộc cả A và B.

Trong toán học, việc chứng minh một bài toán thường dẫn đến việc khẳng định một mệnh đề là đúng. Mệnh đề này có thể được biểu diễn dưới dạng "P kéo theo Q" (nếu P thì Q) hoặc "P tương đương Q" (P khi và chỉ khi Q). Trong đó, P là giả thiết và Q là kết luận. Do đó, một bài toán chứng minh có thể đưa về loại mệnh đề kéo theo hoặc tương đương. Tuy nhiên, mệnh đề tương đương có thể được xem xét như là sự kết hợp của hai mệnh đề kéo theo. Do đó, 'Kéo theo' là đáp án phù hợp nhất trong các lựa chọn đã cho.

Câu hỏi này kiểm tra kiến thức về các phương pháp chứng minh toán học. Mệnh đề "một số nguyên dương n là lẻ khi và chỉ khi 5n+6 là lẻ" là một mệnh đề tương đương (khi và chỉ khi). Để chứng minh mệnh đề này, ta cần chứng minh cả hai chiều:

* Nếu n lẻ thì 5n+6 lẻ.
* Nếu 5n+6 lẻ thì n lẻ.

Chứng minh trực tiếp là phương pháp chứng minh một mệnh đề bằng cách sử dụng các định nghĩa, tiên đề, và các mệnh đề đã được chứng minh trước đó để suy ra mệnh đề cần chứng minh. Trong trường hợp này, ta có thể chứng minh trực tiếp cả hai chiều của mệnh đề tương đương. Ví dụ, nếu n lẻ, ta có thể viết n = 2k + 1, sau đó suy ra 5n + 6 = 5(2k + 1) + 6 = 10k + 5 + 6 = 10k + 11 = 2(5k + 5) + 1, là một số lẻ. Chiều ngược lại cũng có thể chứng minh tương tự.

Chứng minh gián tiếp (chứng minh phản đảo) cũng có thể được sử dụng. Ví dụ, thay vì chứng minh "n lẻ thì 5n+6 lẻ", ta chứng minh "5n+6 chẵn thì n chẵn".

Chứng minh phản chứng thường được sử dụng khi việc chứng minh trực tiếp gặp khó khăn, bằng cách giả sử điều ngược lại của điều cần chứng minh là đúng, và từ đó suy ra một mâu thuẫn. Tuy nhiên, trong trường hợp này, chứng minh trực tiếp là khả thi và dễ hiểu hơn.

Chứng minh quy nạp thường được sử dụng để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng một số nào đó. Phương pháp này không phù hợp với bài toán này.

Vì chứng minh trực tiếp là phương pháp phù hợp và dễ hiểu nhất để chứng minh mệnh đề tương đương đã cho, nên đáp án đúng là "Trực tiếp".