Có thể đưa một bài toán chứng minh về loại mệnh đề nào?

Câu hỏi này kiểm tra kiến thức về các phương pháp chứng minh toán học. Mệnh đề "một số nguyên dương n là lẻ khi và chỉ khi 5n+6 là lẻ" là một mệnh đề tương đương (khi và chỉ khi). Để chứng minh mệnh đề này, ta cần chứng minh cả hai chiều:

* Nếu n lẻ thì 5n+6 lẻ.
* Nếu 5n+6 lẻ thì n lẻ.

Chứng minh trực tiếp là phương pháp chứng minh một mệnh đề bằng cách sử dụng các định nghĩa, tiên đề, và các mệnh đề đã được chứng minh trước đó để suy ra mệnh đề cần chứng minh. Trong trường hợp này, ta có thể chứng minh trực tiếp cả hai chiều của mệnh đề tương đương. Ví dụ, nếu n lẻ, ta có thể viết n = 2k + 1, sau đó suy ra 5n + 6 = 5(2k + 1) + 6 = 10k + 5 + 6 = 10k + 11 = 2(5k + 5) + 1, là một số lẻ. Chiều ngược lại cũng có thể chứng minh tương tự.

Chứng minh gián tiếp (chứng minh phản đảo) cũng có thể được sử dụng. Ví dụ, thay vì chứng minh "n lẻ thì 5n+6 lẻ", ta chứng minh "5n+6 chẵn thì n chẵn".

Chứng minh phản chứng thường được sử dụng khi việc chứng minh trực tiếp gặp khó khăn, bằng cách giả sử điều ngược lại của điều cần chứng minh là đúng, và từ đó suy ra một mâu thuẫn. Tuy nhiên, trong trường hợp này, chứng minh trực tiếp là khả thi và dễ hiểu hơn.

Chứng minh quy nạp thường được sử dụng để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng một số nào đó. Phương pháp này không phù hợp với bài toán này.

Vì chứng minh trực tiếp là phương pháp phù hợp và dễ hiểu nhất để chứng minh mệnh đề tương đương đã cho, nên đáp án đúng là "Trực tiếp".

Nguyên lý cộng phát biểu rằng nếu A và B là hai tập hợp *rời nhau* (tức là không có phần tử chung), thì số phần tử của hợp của A và B bằng tổng số phần tử của mỗi tập hợp. Công thức là N(A ∪ B) = N(A) + N(B), trong đó N(X) biểu thị số phần tử của tập hợp X. Phương án 2 diễn đạt chính xác điều này. Các phương án khác đưa ra các phát biểu không chính xác về nguyên lý cộng hoặc các nguyên lý khác (ví dụ, nguyên lý Dirichlet trong phương án 1).

Hàm `Test` nhận một chuỗi `st` làm đầu vào. Nếu độ dài của chuỗi `st` nhỏ hơn hoặc bằng 1, hàm trả về chính chuỗi đó. Ngược lại, hàm trả về ký tự cuối cùng của chuỗi `st` nối với kết quả của việc gọi đệ quy hàm `Test` với chuỗi `st` bỏ ký tự cuối cùng. Như vậy, hàm sẽ lấy ký tự cuối cùng của chuỗi, sau đó lấy ký tự kế cuối, rồi kế nữa,... cho đến ký tự đầu tiên, và nối chúng lại. Điều này tương đương với việc đảo ngược chuỗi `st`.

Để giải bài toán này, ta cần xác định các số nguyên không vượt quá 100, đồng thời là bình phương hoặc lập phương của một số nguyên.

Các số bình phương không vượt quá 100 là: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 (từ 1^2 đến 10^2).
Các số lập phương không vượt quá 100 là: 1, 8, 27, 64 (từ 1^3 đến 4^3).

Kết hợp hai tập hợp trên và loại bỏ các số trùng nhau, ta có: 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 36, 49, 64, 81, 100.

Vậy, có tổng cộng 12 số thỏa mãn điều kiện. Tuy nhiên, không có đáp án nào trùng với kết quả này. Có lẽ có một sự nhầm lẫn trong các lựa chọn đáp án hoặc câu hỏi cần một cách hiểu khác.
Vì không có đáp án nào phù hợp trong các lựa chọn đã cho, ta không thể chọn một đáp án chính xác.

Câu hỏi này liên quan đến nguyên lý Dirichlet (hay còn gọi là nguyên lý chuồng bồ câu). Nguyên lý này nói rằng nếu có n chuồng và n+1 (hoặc nhiều hơn) con chim bồ câu, thì ít nhất một chuồng sẽ có nhiều hơn một con chim bồ câu. Trong trường hợp này, các "chuồng" là các điểm số từ 0 đến 100 (tổng cộng 101 điểm), và các "con chim bồ câu" là các sinh viên. Để đảm bảo ít nhất 2 sinh viên có cùng điểm, chúng ta cần có nhiều hơn 101 sinh viên. Vậy, số lượng sinh viên tối thiểu cần thiết là 102.