Doanh nghiệp trong thị trường cạnh tranh hoàn toàn có hàm chi phí sau: TC = 5Q³ - 8Q² + 20Q + 500. Giá thị trường bằng bao nhiêu thì doanh nghiệp ngừng kinh doanh:

Để hữu dụng cực đại, người tiêu dùng nên phân bổ ngân sách sao cho tỷ lệ lợi ích cận biên trên giá của các sản phẩm bằng nhau. Tức là: MUx/Px = MUy/Py. Nếu MUx/Px > MUy/Py, người tiêu dùng nên tăng tiêu dùng X và giảm tiêu dùng Y. Ngược lại, nếu MUx/Px < MUy/Py, người tiêu dùng nên giảm tiêu dùng X và tăng tiêu dùng Y. Trong trường hợp không có thông tin về lợi ích cận biên (MU) của X và Y, chúng ta không thể xác định chắc chắn đáp án nào là đúng. Tuy nhiên, thông thường, người tiêu dùng sẽ cố gắng cân bằng tỷ lệ giữa lợi ích và chi phí để đạt được sự hài lòng cao nhất. Do đó, việc điều chỉnh lượng tiêu thụ giữa X và Y là cần thiết cho đến khi đạt được sự cân bằng.

Hàm sản xuất có dạng Q = 4*K^(0.8) * L^(0.6). Đây là hàm sản xuất Cobb-Douglas. Ta thấy rằng 0.8 + 0.6 = 1.4 > 1, vậy hàm sản xuất có tính kinh tế tăng theo quy mô (increasing returns to scale). Điều này có nghĩa là nếu tăng các yếu tố đầu vào (K và L) lên một tỷ lệ nhất định, thì sản lượng Q sẽ tăng lên với tỷ lệ lớn hơn. Cụ thể, nếu chi phí sản xuất (tức là chi phí các yếu tố đầu vào) tăng lên 10%, thì sản lượng sẽ tăng lên 1.4 * 10% = 14%.

Để tìm kết hợp sản xuất tối ưu, ta cần sử dụng quy tắc tối đa hóa lợi nhuận hoặc tối thiểu hóa chi phí. Trong trường hợp này, ta sẽ sử dụng phương pháp Lagrange để giải bài toán tối ưu hóa có ràng buộc.

Hàm sản xuất: Q = 4*K^(0,8) * L^(0,6)
Giá lao động (Pl) = 2
Giá vốn (Pk) = 4
Sản lượng tối đa (Qmax) = 20.000

Bài toán đặt ra là tối thiểu hóa chi phí C = Pk * K + Pl * L = 4K + 2L sao cho Q = 4*K^(0,8) * L^(0,6) = 20.000

Lập hàm Lagrange: L = 4K + 2L + λ(20.000 - 4*K^(0,8) * L^(0,6))

Lấy đạo hàm riêng và giải hệ phương trình:
1. ∂L/∂K = 4 - λ * 4 * 0,8 * K^(-0,2) * L^(0,6) = 0 => 1 = λ * 0,8 * K^(-0,2) * L^(0,6) (1)
2. ∂L/∂L = 2 - λ * 4 * 0,6 * K^(0,8) * L^(-0,4) = 0 => 1 = λ * 1,2 * K^(0,8) * L^(-0,4) (2)
3. ∂L/∂λ = 20.000 - 4*K^(0,8) * L^(0,6) = 0 => K^(0,8) * L^(0,6) = 5.000 (3)

Từ (1) và (2) suy ra:
λ * 0,8 * K^(-0,2) * L^(0,6) = λ * 1,2 * K^(0,8) * L^(-0,4)
=> 0,8 * K^(-0,2) * L^(0,6) = 1,2 * K^(0,8) * L^(-0,4)
=> (0,8/1,2) = K^(0,8) * K^(0,2) * L^(-0,4) * L^(-0,6)
=> 2/3 = K * L^(-1)
=> K = (2/3)L

Thay vào (3):
((2/3)L)^(0,8) * L^(0,6) = 5.000
(2/3)^(0,8) * L^(0,8) * L^(0,6) = 5.000
(2/3)^(0,8) * L^(1,4) = 5.000
L^(1,4) = 5.000 / (2/3)^(0,8)
L^(1,4) ≈ 6515.26
L ≈ (6515.26)^(1/1,4)
L ≈ 553

K = (2/3)L ≈ (2/3) * 553 ≈ 368.67

Vậy K gần nhất với 455, tuy nhiên, đáp án chính xác nhất là "Cả ba câu đều sai" vì không có đáp án nào gần đúng với giá trị K tính được.

Hàng hóa thay thế là hàng hóa có thể được sử dụng thay cho hàng hóa khác. Nếu giá hàng hóa thay thế cho hàng hóa X giảm mạnh, người tiêu dùng sẽ có xu hướng chuyển sang sử dụng hàng hóa thay thế đó nhiều hơn, dẫn đến cầu về hàng hóa X giảm. Khi cầu giảm, đường cầu dịch chuyển sang trái, dẫn đến giá và lượng cân bằng của hàng hóa X đều giảm.