Hàm sản xuất có dạng Q = 4*K^0,8 L^0,6; Pl = 2; Pk = 4; TC = 5000. Đối với hàm sản xuất này.

Để giải bài toán này, ta cần tìm kết hợp K và L tối ưu để sản xuất Q = 20.000 với chi phí thấp nhất. Hàm sản xuất là Q = 4*K^0,8*L^0,6, giá vốn (Pk) = 4 và giá lao động (Pl) = 2.

Bước 1: Thiết lập phương trình năng suất cận biên (Marginal Product) theo K và L:

MPK = dQ/dK = 4 * 0.8 * K^-0.2 * L^0.6 = 3.2 * K^-0.2 * L^0.6

MPL = dQ/dL = 4 * 0.6 * K^0.8 * L^-0.4 = 2.4 * K^0.8 * L^-0.4

Bước 2: Sử dụng quy tắc tối ưu hóa chi phí: MPK/Pk = MPL/Pl

(3.2 * K^-0.2 * L^0.6) / 4 = (2.4 * K^0.8 * L^-0.4) / 2

0.8 * K^-0.2 * L^0.6 = 1.2 * K^0.8 * L^-0.4

L/K = (1.2 / 0.8) * (K^0.8 / K^-0.2) * (L^-0.6 / L^-0.4)

L = 1.5K

Bước 3: Thay L = 1.5K vào hàm sản xuất Q = 4*K^0,8*L^0,6 và giải cho K với Q = 20.000.

20.000 = 4 * K^0.8 * (1.5K)^0.6

5.000 = K^0.8 * (1.5^0.6) * K^0.6

5.000 = K^1.4 * 1.2649

K^1.4 = 5.000 / 1.2649 ≈ 3952.87

K ≈ (3952.87)^1/1.4

K ≈ 553

Vậy K ≈ 553

Doanh nghiệp sẽ ngừng kinh doanh khi giá thị trường bằng với chi phí biến đổi trung bình tối thiểu (AVC). Để tìm AVC min, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính chi phí biến đổi (VC): VC = TC - FC = 20Q³ - 40Q² + 20Q

2. Tính chi phí biến đổi trung bình (AVC): AVC = VC/Q = 20Q² - 40Q + 20

3. Tìm điểm cực tiểu của AVC bằng cách lấy đạo hàm và giải phương trình đạo hàm bằng 0:

AVC' = 40Q - 40 = 0 => Q = 1

4. Thay Q = 1 vào phương trình AVC để tìm AVC min:

AVC(1) = 20(1)² - 40(1) + 20 = 20 - 40 + 20 = 0

Vậy, doanh nghiệp sẽ ngừng kinh doanh khi giá thị trường bằng 0.