Doanh nghiệp trong thị trường cạnh tranh hoàn toàn có hàm chi phí sau: TC = 5Q³ - 8Q² + 20Q + 500. Doanh nghiệp theo đuổi mục tiêu tối đa hóa lợi nhuận nhưng bị hòa vốn, khi ấy sản lượng hòa vốn bằng:

Để giải bài toán này, ta cần tìm điểm mà doanh nghiệp hòa vốn, tức là tổng doanh thu (TR) bằng tổng chi phí (TC). Trong thị trường cạnh tranh hoàn toàn, giá (P) là cố định và doanh nghiệp là người chấp nhận giá. Lợi nhuận tối đa hóa khi MR = MC, và hòa vốn khi TR = TC, hoặc P = ATC (chi phí trung bình). 1. **Tìm hàm chi phí trung bình (ATC):** ATC = TC/Q = (5Q³ - 8Q² + 20Q + 500) / Q = 5Q² - 8Q + 20 + 500/Q 2. **Tìm hàm chi phí biên (MC):** MC = d(TC)/dQ = 15Q² - 16Q + 20 Vì doanh nghiệp hòa vốn và tối đa hóa lợi nhuận, nên P = MC = ATC. Do đó: 15Q² - 16Q + 20 = 5Q² - 8Q + 20 + 500/Q => 10Q² - 8Q = 500/Q => 10Q³ - 8Q² = 500 => 10Q³ - 8Q² - 500 = 0 Đây là một phương trình bậc ba. Để tìm nghiệm Q, chúng ta có thể sử dụng phương pháp thử và sai hoặc sử dụng máy tính bỏ túi hay phần mềm giải toán. Bằng cách thử các giá trị gần đúng, ta thấy Q ≈ 3.97 là một nghiệm hợp lý. Kiểm tra lại: Nếu Q = 3.97, thì: TC = 5*(3.97)³ - 8*(3.97)² + 20*(3.97) + 500 ≈ 313.08 - 126.40 + 79.4 + 500 ≈ 766.08 ATC = 766.08 / 3.97 ≈ 192.97 MC = 15*(3.97)² - 16*(3.97) + 20 ≈ 236.41 - 63.52 + 20 ≈ 192.89 Giá trị ATC và MC gần bằng nhau khi Q = 3.97, cho thấy đây là điểm hòa vốn. Vì vậy, đáp án Q = 3.97 là chính xác nhất.