Cho hệ có phương trình đặc trưng \({s^3} + 20{s^2} + 10s + 100 = 0\)

Hệ thống không ổn định, có 3 nghiệm bên phải mặt phẳng phức

Hệ thống ổn định, không có nghiệm có phần thực dương

Hệ thống không ổn định, có 2 nghiệm bên phải mặt phẳng phức, 1 nghiệm bên trái mặt phẳng phức

Hệ thống không ổn định, có 1 nghiệm bên phải mặt phẳng phức, 2 nghiệm bên trái mặt phẳng phức

Đáp án đúng: B

Để xác định tính ổn định của hệ thống và vị trí các nghiệm của phương trình đặc trưng, chúng ta sử dụng tiêu chuẩn ổn định Routh-Hurwitz. Phương trình đặc trưng đã cho là: \(P(s) = {s^3} + 20{s^2} + 10s + 100 = 0\) Lập bảng Routh: * **Hàng \(s^3\)**: Các hệ số của \(s^3\) và \(s^1\) là 1 và 10. \(s^3\) | 1 10 * **Hàng \(s^2\)**: Các hệ số của \(s^2\) và \(s^0\) là 20 và 100. \(s^2\) | 20 100 * **Hàng \(s^1\)**: Tính các phần tử bằng công thức. \(b_1 = \frac{(20)(10) - (1)(100)}{20} = \frac{200 - 100}{20} = \frac{100}{20} = 5\) \(b_2 = \frac{(20)(0) - (1)(0)}{20} = 0\) (vì không còn cột nào nữa, ta coi như 0) \(s^1\) | 5 0 * **Hàng \(s^0\)**: Tính các phần tử. \(c_1 = \frac{(5)(100) - (20)(0)}{5} = \frac{500}{5} = 100\) \(s^0\) | 100 Bảng Routh hoàn chỉnh: \(s^3\) | 1 10 \(s^2\) | 20 100 \(s^1\) | 5 0 \(s^0\) | 100 Kiểm tra cột đầu tiên của bảng Routh: Các phần tử lần lượt là 1, 20, 5, 100. Tất cả các phần tử này đều dương và không có sự đổi dấu nào trong cột đầu tiên. Theo tiêu chuẩn ổn định Routh-Hurwitz, nếu tất cả các phần tử trong cột đầu tiên của bảng Routh đều có cùng dấu (hoặc tất cả đều dương, hoặc tất cả đều âm) và không có phần tử nào bằng 0, thì tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng đều có phần thực âm (tức là nằm bên trái mặt phẳng phức). Điều này có nghĩa là hệ thống ổn định. Trong trường hợp này, không có sự đổi dấu nào trong cột đầu tiên, do đó, tất cả 3 nghiệm của phương trình đặc trưng đều nằm bên trái mặt phẳng phức. Hay nói cách khác, không có nghiệm nào có phần thực dương. Phân tích các phương án: * **Phương án 1**: "Hệ thống không ổn định, có 3 nghiệm bên phải mặt phẳng phức" - Sai, vì hệ thống ổn định. * **Phương án 2**: "Hệ thống ổn định, không có nghiệm có phần thực dương" - Đúng, điều này phù hợp với kết quả phân tích Routh-Hurwitz. * **Phương án 3**: "Hệ thống không ổn định, có 2 nghiệm bên phải mặt phẳng phức, 1 nghiệm bên trái mặt phẳng phức" - Sai, vì hệ thống ổn định. * **Phương án 4**: "Hệ thống không ổn định, có 1 nghiệm bên phải mặt phẳng phức, 2 nghiệm bên trái mặt phẳng phức" - Sai, vì hệ thống ổn định. Vậy, phương án đúng là hệ thống ổn định và không có nghiệm nào có phần thực dương.