Cho A ={1, 2, 3, 4, 5}. Quan hệ R được xác định: \(\forall a,b \in A,aRb \Leftrightarrow a + b = 2k(k = 1,2,...)\). Xác định phân hoạch do R sinh ra:

Tập A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Quan hệ R trên A được cho bởi:
R = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6), (1,3), (3,1), (1,5), (5,1), (2,4), (4,2), (2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,6), (6,4)}
Ma trận biểu diễn quan hệ R, ký hiệu là M = [m_ij], được xác định như sau:
m_ij = 1 nếu (i, j) ∈ R
m_ij = 0 nếu (i, j) ∉ R
Ta có:
- Hàng 1: (1,1) ∈ R, (1,2) ∉ R, (1,3) ∈ R, (1,4) ∉ R, (1,5) ∈ R, (1,6) ∉ R => 1 0 1 0 1 0
- Hàng 2: (2,1) ∉ R, (2,2) ∈ R, (2,3) ∉ R, (2,4) ∈ R, (2,5) ∉ R, (2,6) ∈ R => 0 1 0 1 0 1
- Hàng 3: (3,1) ∈ R, (3,2) ∉ R, (3,3) ∈ R, (3,4) ∉ R, (3,5) ∈ R, (3,6) ∉ R => 1 0 1 0 1 0
- Hàng 4: (4,1) ∉ R, (4,2) ∈ R, (4,3) ∉ R, (4,4) ∈ R, (4,5) ∉ R, (4,6) ∈ R => 0 1 0 1 0 1
- Hàng 5: (5,1) ∈ R, (5,2) ∉ R, (5,3) ∈ R, (5,4) ∉ R, (5,5) ∈ R, (5,6) ∉ R => 1 0 1 0 1 0
- Hàng 6: (6,1) ∉ R, (6,2) ∈ R, (6,3) ∉ R, (6,4) ∈ R, (6,5) ∉ R, (6,6) ∈ R => 0 1 0 1 0 1
Vậy ma trận biểu diễn R là:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0&1&0&1&0\\
0&1&0&1&0&1\\
1&0&1&0&1&0\\
0&1&0&1&0&1\\
1&0&1&0&1&0\\
0&1&0&1&0&1
\end{array}} \right]\)

Đề bài cho A + B = A, điều này có nghĩa là khi hợp A và B lại thì kết quả vẫn là A. Điều này chỉ xảy ra khi B là con của A, tức là tất cả các phần tử của B đều nằm trong A.

Tập hợp là một khái niệm cơ bản trong toán học, dùng để chỉ một nhóm các đối tượng (hay còn gọi là phần tử) có chung một hoặc nhiều tính chất nào đó. Các phần tử trong tập hợp có thể là bất cứ thứ gì: số, chữ cái, đồ vật, con người, thậm chí là các tập hợp khác. Quan trọng là phải có một tiêu chí rõ ràng để xác định một đối tượng có thuộc về tập hợp đó hay không.

* Phương án 1: "Một nhóm các đối tượng hay vật thể có chung tính chất nào đó." - Đúng, nhưng chưa bao quát hết vì có thể bao gồm cả vật thể.
* Phương án 2: "Một nhóm các đối tượng và vật thể có chung tính chất nào đó." - Đây là định nghĩa chính xác nhất và đầy đủ nhất về tập hợp.
* Phương án 3: "Một nhóm các đối tượng và vật thể có chung duy nhất một tính chất nào đó." - Sai, vì các đối tượng có thể có nhiều tính chất chung.
* Phương án 4: "Một nhóm các phần tử có chung duy nhất một tính chất nào đó" - Sai, vì các phần tử có thể có nhiều tính chất chung.

Để tối thiểu hóa hàm Boolean f(a,b,c,d) = a.b + b.d + d.c, ta có thể sử dụng các quy tắc đại số Boolean hoặc biểu đồ Karnaugh. Tuy nhiên, trong trường hợp này, quan sát trực tiếp có thể giúp ta tìm ra đáp án.

Ta có: f(a,b,c,d) = a.b + b.d + d.c = a.b + d(b+c)

Xét các phương án:

1. f= a.b + d : Đây có thể là một dạng tối giản, nhưng cần kiểm tra kỹ hơn.
2. f = (a+b).d: Biểu thức này không tương đương với biểu thức gốc.
3. f = a.b + d : Trùng với đáp án 1.
4. f = b.c +d : Biểu thức này không tương đương với biểu thức gốc.

Để chứng minh f = a.b + d là một dạng tối thiểu của f(a,b,c,d) = a.b + b.d + d.c, ta cần xem xét xem có thể loại bỏ thêm bất kỳ hạng tử nào không.

Nếu d=1, thì f = a.b + b + c = a.b + 1 = 1. Do đó f = 1.
Nếu d=0, thì f = a.b + 0 = a.b.

Khi d=1, a.b + d = a.b + 1 = 1, khớp với f.
Khi d=0, a.b + d = a.b + 0 = a.b, khớp với f.

Vì vậy, có vẻ như a.b + d là một biểu thức đơn giản hóa hợp lý. Tuy nhiên, ta cần phân tích kỹ hơn để đảm bảo đây là dạng tối thiểu. Ta có thể viết lại biểu thức gốc như sau:
f(a,b,c,d) = a.b + b.d + c.d = a.b + d(b + c)

Ta thấy rằng không thể đơn giản hóa biểu thức này thành a.b + d một cách trực tiếp mà không làm thay đổi giá trị của hàm. Biểu thức a.b + d bỏ qua sự phụ thuộc vào 'c' khi d=1.

Tuy nhiên, xét lại câu hỏi và các đáp án, có vẻ như có một lỗi đánh máy. Phương án 1 và 3 giống nhau. Dù vậy, ta vẫn chọn đáp án gần đúng nhất.

Vì đề bài có vẻ không chính xác hoặc thiếu thông tin, nên ta chọn đáp án có vẻ hợp lý nhất dựa trên các lựa chọn đã cho. Trong trường hợp này, a.b + d là một dạng rút gọn có thể, mặc dù không hoàn toàn tương đương và có thể không phải là tối thiểu theo nghĩa chặt chẽ nhất. Do hai đáp án giống nhau, ta chọn một trong hai.

Khi thiết kế thuật toán đệ quy, ta cần xác định hai thành phần chính: phần cơ sở (base case) và phần đệ quy (recursive case). Phần cơ sở là trường hợp đơn giản nhất mà thuật toán có thể giải quyết trực tiếp mà không cần gọi đệ quy. Phần đệ quy là trường hợp mà thuật toán tự gọi chính nó với một đầu vào nhỏ hơn, tiến gần hơn đến phần cơ sở. Phương án 1 mô tả chính xác hai thành phần này.