Chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử:

Gọi A, B, C lần lượt là tập các số chia hết cho 3, 4, 7 trong tập X. Ta cần tìm số phần tử không thuộc A, B, C.

Số phần tử của A là |A| = \(\lfloor \frac{10000}{3} \rfloor\) = 3333.
Số phần tử của B là |B| = \(\lfloor \frac{10000}{4} \rfloor\) = 2500.
Số phần tử của C là |C| = \(\lfloor \frac{10000}{7} \rfloor\) = 1428.
Số phần tử của A giao B là |A ∩ B| = số các số chia hết cho BCNN(3,4) = 12, |A ∩ B| = \(\lfloor \frac{10000}{12} \rfloor\) = 833.
Số phần tử của A giao C là |A ∩ C| = số các số chia hết cho BCNN(3,7) = 21, |A ∩ C| = \(\lfloor \frac{10000}{21} \rfloor\) = 476.
Số phần tử của B giao C là |B ∩ C| = số các số chia hết cho BCNN(4,7) = 28, |B ∩ C| = \(\lfloor \frac{10000}{28} \rfloor\) = 357.
Số phần tử của A giao B giao C là |A ∩ B ∩ C| = số các số chia hết cho BCNN(3,4,7) = 84, |A ∩ B ∩ C| = \(\lfloor \frac{10000}{84} \rfloor\) = 119.

Số các số chia hết cho ít nhất một trong các số 3, 4, 7 là:
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
= 3333 + 2500 + 1428 - 833 - 476 - 357 + 119 = 5714

Vậy số các số không chia hết cho bất cứ số nào trong các số 3, 4, 7 là: 10000 - 5714 = 4286.

Số sinh viên giỏi toán hoặc tin học hoặc cả hai là: (Số sinh viên giỏi tin học) + (Số sinh viên giỏi toán) - (Số sinh viên giỏi cả hai môn) = 25 + 13 - 8 = 30. Vậy lớp có 30 sinh viên.

Số cần tìm có dạng 5abcd, với a, b, c, d ∈ {1, 2, 3, 4}.

* Chọn d khác 1: Có 3 cách chọn.
* Chọn a: Có 3 cách chọn (khác 5 và d).
* Chọn b: Có 2 cách chọn (khác 5, d và a).
* Chọn c: Có 1 cách chọn (khác 5, d, a và b).

Vậy số các số thỏa mãn là: 3 * 3 * 2 * 1 = 18.

Số nguyên dương nhỏ nhất có 3 chữ số chia hết cho 7 là 105 = 7 * 15.
Số nguyên dương lớn nhất có 3 chữ số chia hết cho 7 là 994 = 7 * 142.
Vậy, các số nguyên dương có 3 chữ số chia hết cho 7 có dạng 7k, với k chạy từ 15 đến 142.
Số lượng các số k như vậy là 142 - 15 + 1 = 128.
Vậy có 128 số nguyên dương có 3 chữ số chia hết cho 7.

Để một đồ thị vô hướng tồn tại với bậc của các đỉnh cho trước, tổng bậc của tất cả các đỉnh phải là một số chẵn. Điều này là do mỗi cạnh đóng góp 2 vào tổng bậc (mỗi đỉnh đầu mút của cạnh đóng góp 1).

* Phương án 1: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 (lẻ) - Không thể tồn tại.
* Phương án 2: 0 + 1 + 2 + 2 + 3 = 8 (chẵn) - Có thể tồn tại.
* Phương án 3: 3 + 4 + 3 + 4 + 3 = 17 (lẻ) - Không thể tồn tại.
* Phương án 4: 1 + 2 + 3 + 4 + 7 = 17 (lẻ) - Không thể tồn tại.

Vậy, chỉ có phương án 2 có tổng bậc là một số chẵn, do đó đồ thị có thể tồn tại.