Tỷ lệ thay thế biên (MRS) bằng với:

Đây là một bài toán tối ưu hóa sản xuất với hàm sản xuất Cobb-Douglas. Để giải quyết, ta cần xem xét tính chất của hàm sản xuất và ảnh hưởng của việc thay đổi chi phí sản xuất đến sản lượng.

Đầu tiên, ta nhận thấy hàm sản xuất Q = 4*K^0,8 L^0,6 có tổng số mũ của các yếu tố đầu vào là 0,8 + 0,6 = 1,4 > 1. Điều này có nghĩa là hàm sản xuất có tính chất tăng theo quy mô (increasing returns to scale). Cụ thể, nếu tăng cả K và L lên một tỷ lệ nhất định, sản lượng sẽ tăng với tỷ lệ lớn hơn.

Trong trường hợp này, nếu chi phí sản xuất (TC) tăng lên 10%, điều này có nghĩa là cả chi phí vốn (Pk*K) và chi phí lao động (Pl*L) đều tăng lên 10%. Vì hàm sản xuất có tính chất tăng theo quy mô, sản lượng sẽ tăng lên một tỷ lệ lớn hơn 10%. Để xác định tỷ lệ tăng chính xác, ta có thể sử dụng hệ số co giãn của sản lượng theo chi phí:

Vì tổng số mũ là 1.4, nên nếu tăng chi phí sản xuất lên 10% thì sản lượng sẽ tăng lên 1.4 * 10% = 14%.

Vậy đáp án đúng là: Nếu tăng lên 10% về chi phí sản xuất thì sản lượng sẽ tăng lên 14%.

Để giải bài toán này, ta cần tìm kết hợp K và L tối ưu để sản xuất Q = 20.000 với chi phí thấp nhất. Hàm sản xuất là Q = 4*K^0,8*L^0,6, giá vốn (Pk) = 4 và giá lao động (Pl) = 2.

Bước 1: Thiết lập phương trình năng suất cận biên (Marginal Product) theo K và L:

MPK = dQ/dK = 4 * 0.8 * K^-0.2 * L^0.6 = 3.2 * K^-0.2 * L^0.6

MPL = dQ/dL = 4 * 0.6 * K^0.8 * L^-0.4 = 2.4 * K^0.8 * L^-0.4

Bước 2: Sử dụng quy tắc tối ưu hóa chi phí: MPK/Pk = MPL/Pl

(3.2 * K^-0.2 * L^0.6) / 4 = (2.4 * K^0.8 * L^-0.4) / 2

0.8 * K^-0.2 * L^0.6 = 1.2 * K^0.8 * L^-0.4

L/K = (1.2 / 0.8) * (K^0.8 / K^-0.2) * (L^-0.6 / L^-0.4)

L = 1.5K

Bước 3: Thay L = 1.5K vào hàm sản xuất Q = 4*K^0,8*L^0,6 và giải cho K với Q = 20.000.

20.000 = 4 * K^0.8 * (1.5K)^0.6

5.000 = K^0.8 * (1.5^0.6) * K^0.6

5.000 = K^1.4 * 1.2649

K^1.4 = 5.000 / 1.2649 ≈ 3952.87

K ≈ (3952.87)^1/1.4

K ≈ 553

Vậy K ≈ 553